Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/01/21.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:39 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:29 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: вторая космическая скорость

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

21

окружности Г, касаются Г в различных точках М и N соответственно. Окружность 1 проходит через центр окружности 2 . Прямая, проходящая через две точки пересечения 1 и 2 , пересекает Г в точках А и В. Прямые МА и МВ пересекают 1 в точках С и D соответственно. Докажите, что CD касается 2 . П.Кожевников

М1717*. Две окружности 1 и 2 , содержащиеся внутри

время резко останавливают. Найдите длину меловой черты на доске. К.Чертов

М1718*. Найдите все функции f: 4 4 такие, что
f x-f y

?

> CD = f ? f > yCD

+ xf y + f x - 1
(Япония)

>C >C

для всех x, y 4 .

М1719. Последовательность a1 , a2 , a3 , задана своим первым членом a1 = 1 и рекуррентной формулой 1 an+1 = an + a , где n = 1, 2, 3, n а) Докажите, что a100 > 14 . б*) Найдите a1000 , т.е. укажите такое целое число m, для которого m a1000 < m + 1 . в) Докажите существование и найдите значение предела
lim a
n n

n.

Ф1721. В высокий вертикальный сосуд квадратного сечения, разделенный вертикальными перегородками на три части (рис.2), налили до одной и той же высоты горячий суп с температурой +65 њС в большое отделение, теплый компот при +35 њС и холодный квас при +20 њС. Наружные стенки сосуда очень хорошо теплоизолированы, внутренние перегородки имеют одинаковую толщину и сделаны из одного материала, не очень хорошо проводящего тепло. Через некоторое время суп остыл на 1 градус. Считая, что все эти жидкости практически одна вода, Рис.2 определите, на сколько изменились за это время температуры остальных двух жидкостей. Кваса в сосуде столько же, сколько компота, супа вдвое больше. А.Компотов Ф1722. В закрытом сосуде кроме воздуха содержится некоторое количество воды. Температура внутри сосуда поддерживается равной +100 њС. Начальный объем сосуда 10 л, жидкость при этом занимает очень небольшую часть объема сосуда, а давление составляет ровно 2 атм. При увеличении объема сосуда до 20 л давление в нем упало до 1,4 атм. Считая эти значения точными, найдите массу воздуха в сосуде. А сколько молекул воды содержится в сосуде? З.Рафаилов Ф1723. Высокий вертикальный сосуд содержит небольшое количество гелия под поршнем массой М, на который поставлена гиря массой 49М. В состоянии равновесия поршень 'висит' над дном сосуда на высоте h. Гирю снимают с поршня, и он начинает движение вверх. Оцените максимальную высоту подъема поршня. На какой высоте над дном сосуда поршень в конце концов остановится? Считайте при расчете, что трения в системе нет, стенки и поршень совершенно не проводят тепло, а теплоемкость стенок и поршня сосуда очень мала. А.Повторов Ф1724. Конденсаторы, емкости которых С, 2С и 3С, соединены друг с другом, как показано на рисунке 3. Конденсатор емкостью 2С заряжен до напряжения U 0 , остальные два не заряжены. К свободным выводам конденсаторов одновременно подключают резисторы сопро!R

А.Спивак

М1720*. N одинаковых деревянных кубиков склеены

между собой так, что каждые два из них склеены по грани или по участку грани. Докажите, что максимальное значение N равно шести. В.Произволов

Ф1718. Заяц бежит по прямой с постоянной скоростью 5 м/с. В некоторый момент его замечает лиса и начинает погоню. Скорость лисы постоянна по величине и равна 4 м/с, а движется она тоже не самым лучшим образом скорость ее в каждый момент направлена точно в ту точку, где находится заяц. Вначале расстояние между ними уменьшается, затем начинает возрастать. Минимальное расстояние составляет 30 м. Какое ускорение было у лисы в тот момент, когда расстояние стало минимальным? М.Учителев Ф1719. В системе, показанной на рисунке 1, силы трения отсутствуют. При каком значении силы F клин и тележка
F m


Рис.1

M C

могут двигаться вместе, без проскальзывания? Угол при основании клина . А.Клинов коэффициентом трения ч . Доску резко начинают двигать в горизонтальном направлении со скоростью v0 , а через
6 Квант ? 1

R

C

R

Ф1720. Кусок мела лежит на горизонтальной доске с

!C
Рис.3