Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/06/10.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:05 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:54 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п

лер, переводившая на иврит книгу В.М.Тихомирова 'Рассказы о максимумах и минимумах'. В книге было сказано: 'Много интересного о задаче Кеплера читатель может почерпнуть из статьи ... 'Секрет Старого Бондаря' (Квант, 1986, ?8, с. 14)'. Всего одно предложение! Нужно обладать фанатичной работоспособностью и сверхдобросовестностью, чтобы для перевода этого предложения пойти в библиотеку и изучить статью, причем настолько внимательно, чтобы заметить ошибку, пропущенную автором и редакцией! h=d

КВАНT 2000/?6

кую же задачу мы уже решали, изучая австрийскую бочку. Ответ при
3 . Объем бочки при этом 4 3 d . Это и есть наибольравен 93 ший возможный объем бочки очень похожей, по словам Кеплера, на те, что приходили с Рейна! (Напомним, что объем австрийской бочки равен 3 d , что составляет лишь 75% 33 объема рейнской бочки. Кеплер комментировал это так: 'Предполагая, что бочки представляют собой просто удвоенные усеченные конусы, заключаем, что продолговатые умеренно пузатые вместительнее цилиндрических того же поперечного размера, и никогда не делают бочек столь чудовищно пузатых, чтобы они оказались снова менее вместительны, чем цилиндрические того же продольного размера'.)
=4

Рис.18

Рейнская бочка
Одна из причин ошибки в статье 'Секрет Старого Бондаря' неудачные обозначения. Вместо z лучше рассмотреть величину R = BE/2 (см. рис. 6). Кроме того, обозначим буквой h расстояние между прямыми AF и BE. Как известно, объем усеченного конуса, радиусы оснований которого r и R, а высота14 h, равен
h 3
2

объема, обозначим через половину величины угла осевого сечения конуса (рис.18). Тогда радиус основания конуса равен R sin , высота равна R cos , а объем равен
1 3 R sin

b

g

2

R cos =

3

R sin cos .

3

2

Значит, объем максимален, когда максимально значение функции

O

Конус максимального объема
Интересно, что у задачи о конусе максимального объема есть забавная переформулировка и естественное решение пятое по счету решение задачи об австрийской бочке! Рассмотрим круг радиуса R. Вырежем из него сектор и свернем из оставшейся

F

=

e

r 2 + rR + R2 .

j

Рис.19

По теореме Пифагора,
d = r+R

b

g

sin cos .

2

2

+h .
4 4

2

Поэтому объем усеченного конуса равен
h 3

e

d - h - Rr .

2

2

j

График этой функции изображен на рисунке 19. Видно, что максимальное значение достигается при , чуть превышающем 45њ. Впрочем, мы можем явно найти максимум этой функции15 : ее про2 3 изводная равна 2 sin cos sin и обращается в ноль (при 0 < < ), когда = arctg 2 . Объем конуса при этом равен 2 R
3

Если d и h зафиксировать (и если, разумеется, 0 < h < d), то будет фиксирована сумма r + R. Но произведение rR при этом фиксировано не будет! Объем будет наибольшим, когда наименьшим будет произведение rR. Меньше нуля произведение стать не может. А нулем может. Наибольший объем равен h 2 d - h 2 и достигается для ко3 нуса (при этом r = 0 и R =

Рис.16

части 'фантик' конус. Совершенно ясно, что если вырезанный сектор очень мал, то высота конуса и его объем тоже

При помощи калькулятора легко проверить, что
2 arctg 2 109,47њ .

e

93.

j

4 4

e

j

d - h ). Итак, бочка максимального объема составлена из двух конусов. Осталось выяснить, при каком h (разумеется, 0 < h < d) величина 2 2 h d - h максимальна. Почти та-

2

2

Рис.17

e

j

14 Т.е. расстояние между плоскостями оснований.

малы (рис.16). Но и вырезать почти все, оставляя лишь маленький сектор (рис.17), тоже неразумно, если мы хотим получить конус сколь-нибудь значительного объема: узкий конус хотя и будет иметь высоту, мало отличающуюся от R, но площадь его основания будет мала. Чтобы найти конус максимального

Любители минут 16 могут записать этот ответ в виде 109њ27 . В учебнике химии о молекуле метана ( CH 4 ) можно прочитать, что валентные связи атома углерода направлены к вершинам тетраэдра, и угол между ними составляет 109њ28 . И это не случайное совпадение: легко проверить, что угол величиной 2arctg 2 образуется, если из центра правильного тетраэдра провести лучи
15 Заметьте: замена переменной x = = cos приводит к функции 1 - N N , где 0 < x < 1. 16 Как известно, 1 градус это 60 минут.