Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/06/kv0600kaleid.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:04 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:46 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Шар и сфера
Шар состоит из точек, удаленных от данной точки (центра) не более чем на данное расстояние (радиус). Сфера это граница шара. Поскольку расстояние от начала координат до точки x; y; z равно x2 + y2 + z 2 , то сфера радиуса r с центром в начале координат задана уравнением сти, площадь всей сферы равна площади боковой поверхности цилиндра 2r 2 r = 4 r 2 .) __________ Трехгранный угол с вершиной в центре сферы высекает на ней сферический треугольник (рис.2).

КАЛЕЙДОСКОП

'КВАНТА'

) + *
A B C

b

g

x2 + y 2 + z 2 = r 2 ,
а шар неравенством
x2 + y 2 + z2 r 2 .
O l
Рис. 2

B C A

Рис. 4

где S но,

ABC

=S

A B C

. Следователь-

__________ Объем шара радиуса r равен 43 V = r . Зная это, легко найти 3 площадь сферы. Для этого рассмотрим шар с тем же центром и радиусом r + , где > 0. Разность объемов равна
4 3 r+

S

ABC

2 = A+B+C- r .

m

e

j

eb

g

3

-r

3

j

=

=

4 3

3r 2 + 3 r 2 + 3 .

e

j

Но тот же самый объем при маленьких с довольно высокой точностью равен S , где S площадь сферы (по сути это определение площади поверхности). Значит, 4 2 2 S = 3r = 4 r . 3 Архимед доказал, что любые две плоскости, параллельные основаниям описанного около сферы цилиндра (рис.1), высекают на сфере и на цилиндре 'пояски' одинаковой площади. (В частно-

Стороны сферического треугольника дуги больших кругов. Поскольку касательные l и m к сфере перпендикулярны радиусу OA, то величины A , B и C углов сферического треугольника равны величинам соответствующих двугранных углов трехгранного угла. 'Двуугольник' DA (рис.3) составляет от площади сферы та кую же часть, как угол 2 A от угла 2 . Поэтому его площадь
D A D
Рис. 3
)

В частности, сумма углов любого сферического треугольника больше 180њ. ___________ В любой тетраэдр можно единственным способом вписать сферу, причем имеет место формула для объема тетраэдра ABCD:

V=

1 3

c

S

ABC

+ SABD + SACD + SBCD r,

h

где r радиус вписанной сферы. Существуют также 4 вневписанные сферы, каждая из которых касается одной грани тетраэдра и продолжений трех других граней, при этом
V=

)

A

равна

2 2 4 r = 4 r A . 2 Теперь продолжим стороны AB, BC и CA сферического треугольника до больших кругов (рис.4). Очевидно, двуугольники DA , DB и DC покрывают сферический треугольник ABC и симметричный ему треугольник A B C в три слоя, а остальную часть сферы в один слой. Поэтому

2A

где ra радиус сферы, касающейся грани BCD и продолжений трех других граней. Существуют ли еще сферы, которые касаются всех четырех плоскостей граней тетраэдра? Ответ зависит от площадей этих граней. Если существует сфера с центром О и радиусом , касающаяся 'продолжений за ребро' граней ABC и ABD и 'продолжений за вершины' A и B граней ACD и BCD (рис.5), то объем V равен
VACDO + VBCDO - VABCO - VABDO =

1 SABC + SA 3

BD

+ SACD - SBCD ra ,

4r 2 A + 4r 2 B + 4r 2C =
Рис. 1
2 = 4 r + 2 S ABC

1 = S 3

c

ACD

+ SBCD - S

ABC

-S

ABD

h

.

+ 2S

A B C

,

Необходимым условием для этого


)

,

* +

Рис. 5

Рис. 6

является неравенство
S
ACD

+S

BCD

>S

ABC

+S

ABD

.

Можно доказать, что это условие не только необходимое, но и достаточное. В частности, если сумма площадей никаких двух граней тетраэдра не равна сумме площадей двух других граней, то существуют 1 + 4 + 3 = 8 сфер, каждая из которых касается всех четырех плоскостей граней тетраэдра. А для равногранного тетраэдра таких сфер всего 1 + 3 = 4. ___________ Как расположить на сфере n точек, чтобы наименьшее из всех расстояний между ними было как можно больше? Эта задача не решена до сих пор. Оптимальные расположения при n = 2, 3, ..., 9 показаны на рисунке 6, где линиями соединены те точки, расстояния между которыми равны наименьшему из растояний между рассматриваемыми n точками. При n > 9 решение известно для n = 12 (вершины икосаэдра) и n = 24 (вершины полуправильного 38-гранника, ограниченного 32 равносторонними треугольниками и 6 квадратами; в каждой вершине сходятся 4 треугольника и 1 квадрат). Другая похожая задача как расположить на непроводящей электричество сфере n одинаковых зарядов. Отталкиваясь, они стараются 'разбежаться в разные стороны', чтобы минимизировать потенциальную энергию системы. При n = 2, 3, 4, 6 и 12 ответы найдены: это, соответственно, 2 противоположные точки сферы, 3 вершины вписанного в боль-

шой круг сферы равностороннего треугольника, 4 вершины правильного тетраэдра, 6 вершин октаэдра и 12 вершин икосаэдра. В общем случае решение неизвестно. ___________ Рассмотрим куб размером 3 Ч 3 Ч 3. Отметим центры всех 12 единичных кубиков, которые выходят на поверхность куба двумя своими гранями (т.е. не являют-

___________ Возьмем все точки пространства с целыми координатами и отметим те из них, сумма координат которых четна (рис.8). Рассмотрим шары радиуса 1 2 с центрами в отмеченных точках. Доля объема, которую занимают эти шары, равна 18 0,7405. Иоганн Кеплер в 1611 году выдвинул гипотезу, что это наиболее плотная возможная упаковка шаров. Задача о плотной упаковке шаров вошла (под номером 18) и в список наиболее важных проблем математики XX века, составленный в 1900 году Давидом Гильбертом. В 1998 году вышла серия из шести статей Хайеса и Фергюсона, где при помощи весьма сложных рассуждений задача сведена к рассмотрению примерно 5000

Рис. 7

(0;0;2)

ся ни угловыми, ни центральными на гранях). Поскольку все эти 12 точек удалены от центра куба на расстояние 2 , то сферы радиуса 1 2 с центрами в них касаются центрального шара (0;0;0) (2;0;0) (рис.7). Можно ли расположить 13 оди- Рис. 8 наковых шаров, чтобы все они конфигураций, которое было выкасались одного шара того же раполнено на компьютере. Окончадиуса? Джеймс Грегори (1638 тельную проверку эти вычисле1675) надеялся, что можно. Исания и рассуждения еще не проак Ньютон (16431727) утвержшли, и можно ожидать всяких дал, что нельзя. Точку в их споре сюрпризов. поставили в 1953 году К.Шютте и А.Жуков, А.Спивак Б.Л.Ван-дер-Варден. Прав оказался Ньютон.