Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/06/kv0600mojayev.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:04 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:35:50 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 16

ПРАКТИКУ ПРАКТИКУММ А Б И Т У Р И Е Н Т А АБИТУРИЕНТА

!

?
В.МОЖАЕВ
что речь будет идти о волновых свойствах света. Волновые представления используются при описании таких хорошо известных физических явлений, как интерференция и дифракция света. С этими явлениями тесно связано очень важное понятие когерентности волн. Пусть в некоторую точку пространства от двух источников приходят два монохроматических волновых возмущения с одинаковой длиной волны . Если источник 1 находится на расстоянии r1 от точки наблюдения, а источник 2 на расстоянии r2 , то зависимость, например для электромагнитной волны, напряженности электрического поля в данной точке, создаваемой обеими электромагнитными волнами, будет иметь вид
Et =E

метрична относительно начала координат (z = 0). Пусть координата m-го максимума интенсивности равна z m . Это означает, что в точку с координатой z m от источников S1 и S2 приходят волны с оптической разностью хода, равной m , где m некоторое целое число, т.е. r2 - r1 = m . Из рисунка 2 находим
r2 = L+
2



УДЯ ПО НАЗВАНИЮ СТАТЬИ ЯСНО,

висит от и остается неизменной за время наблюдения:

r1 =

L + zm -

2

FG H FG H

d 2

+z

m

d 2

IJ K IJ K

2

,
2

.

E0 =

E

2 01

+E

2 02

+ 2 E01 E

02

cos .

bg

01

cos t - kr1 +

c

h

+E

02

cos t - kr2 ,

c

h

= k r2 - r1 . Два колебания считаются когерентными, если за время наблюдения разность фаз остается постоянной. В этом случае амплитуда E0 результирующего колебания за-

где E01 и E02 амплитуды напряженностей электромагнитных волн, = 2 c их круговая частота, k = = 2 волновое число (считаем, что начальные фазы волн совпадают). Происходит сложение двух колебаний, сдвинутых по фазе на величину = t - kr1 t - kr2 =

c

h

c

h

c

h

К сожалению, монохроматическая волна это чисто математическое понятие, такие волны не имеют физического смысла, их нет в природе. (Наиболее близкие к монохроматическим волны излучают оптические квантовые генераторы, т.е. лазеры.) Нет в природе и когерентных источников, т.е. источников, излучающих когерентные волны. В различных оптических схемах для получения интерференционной картины в качестве когерентных источников обычно используют два мнимых источника, полученных от одного действительного, или один действительный, а другой его мнимое изображение. А теперь перейдем к рассмотрению конкретных оптических схем. Задача 1. Любую оптическую схему по наблюдению интерференционной картины можно представить в упрощенном виде, изображенном на рисунке 1. Два точечных когерентных источника S1 и S2 , излучающих свет с длиной волны , находятся на расстоянии d друг от друга. На расстоянии L от источников расположен экран. Определите ширину интерференционных полос при условии, что d?L . Очевидно, что интерференционная картина в плоскости рисунка 2 симS d r


С учетом того, что d 2 + z m? L , можно записать
r2 = L 1 +

FG H

d 2+z L

m

IJ K

2



L+
r1 = L 1 +

c c

d2+z 2L

m

h h

2

,

FG H

z

m

-d2 L

IJ K

2



L+ откуда

zm - d 2 2L

2

,

. L В этом приближении условие того, что максимуму m-го порядка соответствует координата z m , имеет вид

r2 - r1

dz

m

dz

m

L

= m .

Аналогично, для соседнего максимума m + 1 -го порядка запишем

b
b

g
g

dz

m +1

L
где z m +1 m + 1 -го Ширина x это соседними

= m + 1 ,

b

g

координата максимума порядка. интерференционных полос расстояние между двумя максимумами, т.е.
m +1

x = z

-z

S d S L
. 1 . 2



z zm r

m

=

L d

=



,

S L

где = d L угол сходимости интерферирующих лучей. Приведем без вывода точное выражение для ширины интерференционных полос: x = . 2 sin 2

bg

( . . 34)


!"
( . . 34)
При малых углах сходимости оно переходит в полученное ранее приближенное выражение. Задача 2. От двух когерентных источников света S1 и S2 получена система интерференционных полос на экране АВ, удаленном от источников на а = 2 м (рис.3). Расстояние между источниками d?a . Во сколько раз изменится ширина интерференционных полос, если между источниками и экраном поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 25 см? Рассмотрите два случая: расстояние линзы от источников равно 2F; источники находятся в фокальной плоскости линзы. Решение этой задачи будем основывать на выражении, полученном для ширины интерференционных полос в предыдущей задаче. В отсутствие линзы угол сходимости интерферирующих лучей мал и ширина интерференционных полос
x = = a d

К В А Н T $ 2000/6

A S d S a
. 3

B

этом случае будет a - 4F x1 = = , 1 d

>

C

а отношение ширин полос

x1 x

=

a - 4F a

=

1 2

,

.

Если собирающая линза расположена на расстоянии 2F от источников, когерентными источниками, создающими на экране АВ интерференционную картину, являются два действи тельных изображения S1 и S2 (рис.4). Очевидно, что расстояние между этими источниками также равно d, а угол сходимости равен 1 = d a - 4 F . Ширина интерференционных полос в

т.е. ширина полос уменьшится в два раза. Если источники S1 и S2 будут находиться в фокальной плоскости линзы, когерентные источники S1 и S2 будут мнимыми и расположенными на бесконечности слева от линзы на продолжении прямых S1O и S2 O (рис.5). На экран АВ будут падать два параллельных пучка лучей с углом сходимости 2 = d F . Ширина интерференционных полос будет F x2 = = , 2 d а отношение ширин полос

т.е. в этом случае ширина полос уменьшится в 8 раз. Задача 3. В интерференционной схеме используется квазимонохроматический источник света с длиной -5 волны = 5 10 см. Отражающие зеркала расположены симметрично относительно источника S и экрана Э, на котором наблюдается интерференционная картина (рис.6). Найдите: 1) ширину интерференционных полос x на экране; 2) область локализации полос на экране; 3) максимальный и минимальный порядки интерференции и число наблюдаемых полос. Параметры схемы: L = 1 м, 2d = 2,5 см, D = 10 см. 1) В данной интерференционной схеме когерентными источниками являются два мнимых изображения источника S в отражающих зеркалах. На рисунке 7 это источники S и S . Угол сходимости интерферирующих лучей равен углу S OS и составляет

>

C

x2 x

=

F a

=

1 8

,

A S O

A d S d S F F
5 5



S F B

a

B
. 5

a

. 4

5

z

D S d

Э

d d S z O z

d L
. 6 . 7

5

L


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

!#
B Л S O З D A v

П

z

1 2
. 8



u

u

z



B

A D C

Л П
. 10

. 9

= 4 d L . Ширина интерференционных полос равна
x = = L 4d = 10
-3

см .

2) Область локализации полос на экране определяется областью пересечения интерферирующих пучков:
z z 0 , где z0 =

2dD L+ D

= 0,227 см .

3) Интерференционная картина на экране будет симметричной относительно начала координат (z = 0). Непосредственно в начале координат будет находится максимум нулевого порядка (m = 0) это и будет минимальный порядок интерференции. Максимальный же порядок интерференции будет иметь место при z = = + z0 :

относительно зеркала 2 равна z (рис.9). Найдем в этот момент оптическую разность хода между двумя волнами, одна из которых отраженная от зеркала 1, а другая отраженная от зеркала 2 и прошедшая зеркало 1. Прямая АВ является волновым фронтом (линией постоянной фазы) падающей волны в некоторый произвольный момент времени. Расстояние этого фронта до точки D, где произойдет отражение, равно отрезку BD, а расстояние, которое нужно пройти этому фронту до точки D после отражения от зеркала 2, равно сумме длин отрезков АС и CD. Очевидно, что оптическая разность хода между волнами равна

яние z = 2cos . Время прохождения зеркалом 1 этого расстояния, или период переменного сигнала приемника, будет

>

C

T=

z u

=

2u cos

,

а частота сигнала

f=

1 T

=

2u cos

= 346 Гц .

= AC + CD - BD .
Из рисунка 9 находим

m

max

=

z

0

x

=

8d D

2

AC = CD =

z

L L + D

>

C

= 227 .

cos

,

BD = AD sin = 2 z tg sin =
= 2 z sin cos
2

Полное число наблюдаемых полос будет

,

N = 2m

max

= 454 .

откуда

Задача 4. Параллельный пучок квазимонохроматического света с длиной волны = 500 нм падает под углом = 30њ на систему из двух плоскопараллельных зеркал 1 и 2 (рис.8). Часть светового пучка отражается от полупрозрачного зеркала 1, а оставшаяся часть полностью отражается от неподвижного зеркала 2. Система волн, отраженных от обоих зеркал, с помощью собирающей линзы фокусируется на приемник П, который расположен в фокальной плоскости линзы. Сигнал приемника пропорционален интенсивности падающего на него света. Какова будет частота переменного сигнала приемника в случае плоскопараллельного перемещения зеркала 1 со скоростью u = 0,01 см/с? Рассмотрим произвольный момент времени. Пусть координата зеркала 1

=

2z cos

-

2 z sin cos

2

= 2 z cos .

Приемник будет регистрировать максимальный сигнал, когда
2 z cos = m , где m = 0, 1, 2,

Между двумя соседними максимумами сигнала зеркало 1 пройдет рассто-

Задача 5*. Для исследования спектрального состава излучения источника используется интерферометр Майкельсона (рис.10). Точечный источник S расположен в фокальной плоскости линзы Л1 . Слаборасходящийся пучок света разделяется делителем D на два одинаковых по интенсивности пучка. Один из них (отраженный от делителя) направляется на неподвижное зеркало З1 , а второй после прохода делителя идет к зеркалу З2 , которое перемещается со скоростью v = 6 10 -5 мм/с. После отражения от зеркал и последующего взаимодействия с делителем образуются два когерентных пучка, которые с помощью линзы Л2 собираются на фотоприемник П. Ток фотоприемника пропорционален интенсивности падающего на него излучения. На рисунке 11 показан график изменения фототока приемника, когда излучение источника содержит две близкие спектральные линии одинаковой интенсивности с длинами волн 1 и 2 ( 2 1 ? 1 ). Определите значения этих длин волн.

I 2I I




0
. 11

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

t,c


!$
Рассмотрим квазимонохроматическое излучение с длиной волны 1 . Пусть интенсивность этого излучения равна I0 . Очевидно, что интенсивность каждого из двух когерентных пучков, фокусируемых линзой Л2 на фотоприемник, равна I0 4 . Если в данный момент времени длины плеч интерферометра (расстояния от делителя до зеркал) равны ОА и ОВ, то разность хода между нашими двумя волнами составляет = 2 OA - OB , где множитель '2' учитывает распространение волны к зеркалу и обратно, фазовый сдвиг равен = 2 1 , суммарная интенсивность этих волн равна I0 I0 I I 2 = I1 t = 0 + 0 + 2 cos 1 4 4 2 2

К В А Н T $ 2000/6

b

g

втором члене этого выражения описывает высокочастотное периодическое колебание фототока, а второй сомножитель соответствует низкочастотной огибающей. По графику зависимости I t находим, что период высокочастотных колебаний равен Т = 5 с. За это время разность хода изменяется на , что соответствует перемещению подвижного зеркала на 2 . Расстояние, пройденное зеркалом за время Т, очевидно, равно Tv. Таким образом,

bg

2

= Tv , откуда
= 2Tv = 6 10
-5

bg

=

I

0

2

Введем обозначения: 2 1 = и 1 + 2 = 2 , откуда 1 = 2 , 2 = + 2 , где средняя длина волны. После подстановки выражения для 1 суммарная интенсивность I1 t будет
I1

F GH

1+

FI GH JK F 2 I I cosG H JK JK
1

см = 600 нм .

.

Как мы уже отмечали, функция cos 2 описывает огибающую высокочастотного сигнала. Из рисунка 11 можно найти, что за время, равное 14Т, фаза изменяется на , а разность хода на 2 . Подвижное зеркало проходит за это время в два раза меньшее расстояние. Итак,

bg t bg

=

I0 2

1 2 0 1 + cos + 2 = 2
=

F GH

1+

F cosG H

2 - 2

II JK JK

2 = 14Tv , откуда 2 = 2 43 нм . 28Tv



I

0

2

+

I

0

2


cos
I
0

2

FG 2 IJ cos HK F 2 IJ si sin G HK

2
n 2 .

Таким образом, длины волн спектральных линий равны, соответственно, 1 = - = 578,5 нм , 2 2 = + = 621,5 нм . 2 Задача 6. На физической олимпиаде, проходившей в Московском физико-техническом институте в 1998 году, школьникам была предложена такая экспериментальная задача: с помощью штангенциркуля измерить длину волны лазерного излучения. В качестве лазера использовался миниатюрный твердотельный квантовый генератор. Один из участников олимпиады собрал экспериментальную установку, изображенную на рисунке 12. На горизонтальной поверхности

стола, примыкающего к вертикальной стене комнаты, лежит штангенциркуль Ш. Излучение лазера Л, укрепленного на штативе, падает поперек миллиметровым рискам штангенциркуля. На миллиметровой бумаге, закрепленной на стене, наблюдается система дифракционных максимумов в виде светлых горизонтальных линий. Были проведены три замера: высота самой яркой линии (луч 1) h0 = 31 мм, высота шестого дифракционного максимума (луч 2) h6 = = 68 мм и расстояние L = 695 мм. По этим данным определите длину волны лазерного излучения. Идея решения задачи понятна: использовать штангенциркуль с нанесенными на нем миллиметровыми рисками в качестве отражательной дифракционной решетки. Диаметр светового пучка лазера на расстоянии 1 м составляет ; 4 мм, поэтому для увеличения числа рисок, освещаемых падающим пучком света, угол падения 0 должен быть близок к 2 . Рассмотрим ход лучей, рассеянных на двух соседних рисках (рис.13). Расстояние между соседними штрихами (постоянная решетки) d = 1 мм. Обозначим угол падения лучей 1 и 2 через 0 , а угол отражения лучей 1 и 2 через m , и пусть угол m соответствует направлению на m-й дифракционный максимум. Разность хода лучей 1,1 и 2, 2 равна

= d sin 0 - d sin m .
Если угол m соответствует направлению на m-й главный дифракционный максимум, то = m , где длина волны света. Таким образом,

Аналогично, для излучения с длиной волны 2 получим

d sin 0 - d sin

m

= m ,

12 (J) =

10 2

1 + cos

2 + 2

где m = 0, 1, 2 Очевидно, что направление на максимум нулевого порядка (m = 0) имеет место при m = 0 , т.е. когда происходит зеркальное отражение. Если высота расположения максимума h0 , то L sin 0 = . 2 2 L + h0


=

10 2

2 -2 1 + cos



=

10 10 2 cos cos 2 + + 2 2

=

10 2 + sin 2

si

n 2

..

hm m=$ m= 1

Суммарная интенсивность света на приемнике от излучений с обеими длинами волн будет
I t = I1 t + I2 t =

2 m 0 0 L Ш

bg

bg

bg

Л

= I0 + I0 cos

Первый переменный сомножитель во

FG 2 IJ HK

cos 2 .


. 12

d
. 13


ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

37
Г L K
Рис. 16

Для высоты расположения максимума шестого порядка (m = 6)
sin 6 = L L + h6
2 2

.

Условие направления на главные дифракционные максимумы позволяет определить длину волны света:
= dL 6

F GG H

1 L +h
2 2 0

-

1 L + h6
2 2

I JJ K

ми светлыми полосами равно x = 0,5 мм и не изменяется при перемещении экрана вдоль оптической оси. Найдите а. 2. В интерференционной схеме, изображенной на рисунке 15, на бипризму Френеля падает параллельный пучок квазимонохроматического света с длиной волны = 600 нм. Пучки света, преломленные каждой из половинок бипризмы, интерферируют между собой. При каком расстоянии L между биприз-

P

.

a

P

Поскольку h0 и h6 много меньше L, можно записать



d h6 - h

d

0

idh
2

6

+h

0

i

12L

= 632 нм .
L
Рис. 15

С учетом погрешностей измерений окончательно получим
= 630 + 50 нм .
Упражнения 1. Из линзы с фокусным расстоянием F = 50 см вырезана центральная часть шириной а, как показано на рисунке 14. Обе половины линзы сдвинуты до соприкосновения. По одну сторону линзы помещен точечный источник света с длиной волны = 600 нм. С противоположной стороны линзы находится экран, на котором наблюдаются интерференционные полосы. Расстояние между соседни-

b

g

a

Рис. 14

мой и экраном Р на нем будет наблюдаться интерференционная картина максимального размера? Чему будет при этом равна ширина интерференционных полос? Какое количество светлых полос будет наблюдаться на экране в этом случае? Расстояние между вершинами бипризмы 2 а = 5 см, показатель преломления материала бипризмы n = 1,5, пре-3 ломляющий угол = 10 рад. Считать, что sin = tg = . 3. Интерферометр Рэлея (рис.16) используется для относительного измерения показателя преломления газов. Для этого на пути одного из интерферирующих лучей располагается кювета Г прямоугольной формы длиной L = 10 см с исследуемым газом, а на пути другого луча компенсатор K, с помощью которого добиваются, чтобы в центральном максимуме разность хода между лучами равнялась нулю. Чему равно относительное изменение показателя прелом-

ления азота, по отношению к воздуху, если после замены в кювете воздуха на азот интерференционная картина в плоскости наблюдения Р сместилась ровно на одну полосу? Измерения проводились на длине волны = 500 нм. 4. Точечный источник света S расположен на расстоянии L = 1 м от тонкой слюдяной пластинки толщиной h = = 0,1 мм с показателем преломления n = = 1,4 (рис.17). На таком же расстоянии от пластинки расположен небольшой экран Э, ориентированный перпендикулярно отраженным лучам, на котором наблюдаются интерференционные полосы. Угол = 60њ. Найдите порядок m

Э

S L h
Рис. 17

интерференционной полосы в центре экрана. Определите ширину интерференционных полос. Длина волны света = = 560 нм.

Задачи о трапециях
В.АЛЕКСЕЕВ, В .ГАЛКИН, В.ПАНФЕРОВ, В .ТАРАСОВ

С

ках на вступительных экзаменах в вузы важную долю составляют задачи о трапециях. Здесь мы обсудим основные подходы к решению таких задач.

РЕДИ ЗАДАЧ О МНОГОУГОЛЬНИ-

Подобие и пропорциональность в трапециях
Важной особенностью трапеций является наличие двух параллельных сторон. При пересечении их (или их

продолжений) любой прямой образуются равные углы, что приводит к появлению пар подобных треугольников и, соответственно, пропорциональных отрезков. Также (в соответствии с теоремой Фалеса) пропорциональные отрезки возникают на боковых сторонах трапеции или их продолжениях, если проводится прямая, параллельная основаниям. Следующие задачи показывают, как использовать эти пропорциональности. Задача 1. Прямая, параллельная основаниям трапеции, пересекает ее боковые стороны и диагонали последовательно в точках М, Р, Q, N (рис.1). Докажите, что МР = QN. Решение (обозначения см. на рис.