Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/45.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:57 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:18 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 8

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

"#
Учитывая это равенство, сделаем в системе (1) очевидные сокращения:

гично). Тогда, очевидно, выполняются следующие неравенства: 3x x + y + z 3y 3z , 2x + y 2x + z 2y + x

2z + x 2y + z 2z + y ,
откуда следует справедливость условий (1). Доказательство неравенства Караматы Предварительно докажем следующие леммы. Лемма 1 (про четыре точки). Если f выпуклая функция и x1 + x2 = y1 + + y2 ( y1 x1 x2 y2 ), то f y1 + + f y2 f x1 + f x2 . Утверждение леммы фактически очевидно (хотя строгое аналитическое доказательство требует некоторой возни). Действительно, отрезок АВ находится выше CD, а следовательно, и середина отрезка АВ точка Е

очевидно. Рассмотрим пример, когда порядок нарушается. Пусть есть упорядоченный набор (8, 6, 5, 4). Раздвигание чисел 5 и 4 переводит его в неупорядоченный набор (8, 6, 9, 0). Последующее упорядочивание дает набор (9, 8, 6, 0), который мажорирует исходный. Однако эту процедуру можно заменить цепочкой раздвиганий, сохраняющих порядок:

и

R | | | S | | | T

a1 b1 , a1 + a2 b1 + b2 , K a1 + K + al = b1 + b2 + K + bl bl +1, + al
+2



b

86,5,4 8,6,6,3 ,

gb

g b

88,6,1 98,6,0 . , ,

gb

g

ch ch

ch

ch

На первом этапе раздвигались последние два числа, на втором второе и четвертое, на третьем первое и четвертое. С другой стороны, на каждом этапе упорядоченность не менялась и поэтому (9,8,6,0) f (8,8,6,1) f (8,6,6,3) f (8,6,5,4). Оказывается, что и в общем случае всякое раздвигание с последующим упорядочиванием можно заменить цепочкой раздвиганий, сохраняющих порядок (это можно доказать по индукции). Лемма 2 (Карамата, Харди, Литлвуд, Пойа). От набора b = ( b1 ,..., bn ) с помощью последовательных раздвиганий можно перейти к набору а = =( a1 ,..., an ) тогда и только тогда, когда а f b. Доказательство. Необходимость условия а f b очевидна. Действительно, переходя от b = ( b1 ,..., bn ) к а = =( a1 ,..., an ), после каждого раздвигания получаем набор, мажорирующий предыдущий, а значит, и исходный набор b = ( b1 ,..., bn ). Достаточность. Докажем, что если а f b, то от набора b = ( b1 ,..., bn ) можно перейти к а = ( a1 ,..., an ). Доказательство проведем индукцией по числу переменных набора. 1. n = 1. Утверждение очевидно. 2. Пусть для любого k, 1 k n - 1 , доказано, что при выполнении условия ( a1 ,..., ak ) f ( b1 ,..., bk ) от набора ( b1 ,..., bk ) можно с помощью раздвиганий перейти к ( a1 ,..., ak ) . Докажем это утверждение для k = n. В наборе ( b1 ,..., bn ) будем непрерывно раздвигать b1 , bn ( b1 максимальное число набора, bn минимальное). Тогда правые части всех неравенств системы (1) будут расти, а значит, в некоторый момент какое-то неравенство превратится в равенство a1 + a2 + K + al = b1 + b2 + K + bl ,
где b1 новое положение переменной b1 .

) . + O N / N


*

,

По предположению индукции от набо ра b' = ( b1 ,..., bl ) можно перейти к a' = ( a1 ,..., al ) и от b" = ( bl +1 , bl + 2 ,..., b ) n к a" = ( al +1 ,..., an ) (поскольку а' f b' и а" f b"), при этом весь набор ( b1 ,..., bn ) перейдет в ( a1 ,..., an ). Лемма доказана. Теперь неравенство Караматы очевидно. С помощью раздвиганий от набора (b1 ,..., bn ) перейдем к ( a1 ,..., an ) (лемма 2), при этом на каждом раздвигании сумма f x1 + f x2 + ... ...+ f xn возрастает (лемма 1).

R | | | S | | | T

al al

+1 +1

bl

+1

+ bl + 2 ,

K al
+1

+ K + an = bl

+1

+ bl

+2

+ K + bn .



ch

ch

ch

Упражнения 3 (из задач Соросовских олимпиад). Докажите неравенство

O



находится выше точки F середины CD, что и является утверждением леммы, поскольку EG = f y1 + f y2 FG =
1

xy xz zy + 2+ 2 z2 y x

xy + z2

xz + y2

zy , x2

e c h c hj e f c x h + f c x hj
2

2, 2.

где x,y,z > 0 . 4 (М506). Пусть a, b, c, d положительные числа. Докажите, что

a + b + c + d + 2 abcd

4

4

4

4

Определение. Раздвиганием набора ( x1 ,..., xn ) будем называть одновременное увеличение xi и уменьшение x j с сохранением их суммы ( xi x j ). Лемма 1 утверждает, что при раздвигании набора величина f x1 + + f x2 + ... + f xn не убывает. Этот факт сам по себе представляет полезный инструмент доказательства неравенств (см., например задачу М1272).2 Будем считать исходный набор упорядоченным. Покажем, что всякий полученный из него раздвиганием и упорядочиванием набор мажорирует исходный. Если при раздвигании порядок не нарушается, утверждение

a2b 2 + a2 c2 + a 2 d 2 + b 2 c2 + b 2 d 2 + c2 d 2 .
5. Докажите 'весовое' неравенство Караматы

m1 f x1 + m2 f x

di

bg

ch

bg

m1 f

di dy i
2 1

+ K + mk f x + m2 f
2

di dy i +K
k

+ mk f y

di
k

для упорядоченных наборов ( x1 , x2 ,..., x n ) и ( y1 , y2 ,..., y n ), удовлетворяющих соотношениям

2 В олимпиадном сленге этот прием, за его прямолинейность и универсальность, называют 'дубиной'.

при m i R .

Rm x |m x | |K |m x S | m |m x | |= m T

11 11

m1y1, + m2 x2 m1y1 + m2 y2, + m2 x2 + m2 + m2 x2 y1 + m2 + y2 + y2 K+ +K K+ +K mn -1xn -1 + mn -1yn -1, mn xn = + mn yn

11

1y1

11

1 +