Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/39.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:56 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:14 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'


!'
y

ны.) Убедить в этом экзаменатора легче, чем в первом доказательстве но все-таки убеждать надо...
III. Скалярное произведение

Весьма лаконичное доказательство формулы (2) получим, если посчитаем скалярное произведение векторов a = cos ; sin , b = cos ; - sin . С одной стороны, оно равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

b

g

b

g

Рассмотрим повороты R и R вокруг начала координат на углы и . (Поскольку в излагаемом доказательстве использованы повороты только вокруг начала координат, центр поворота мы не указали.) Последовательное выполнение этих двух поворотов дает поворот на угол + : R oR


=R

+

.

(9)

y a O
Рис. 5



a b = 1 1 cos + .

b

g

С другой стороны, известно, что скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:


Оказывается, если выписать формулы, которые описывают в координатах эти преобразования плоскости, то формула (9) приведет к формулам (1) и (2). Проделаем эти вычисления. При повороте на угол вокруг начала координат точка (1;0) переходит, как

x

x

y 1 cos a sin a a A cos a 1 x

рую переходит точка x1; y1 при по вороте R , верны аналогичные формулам (10) и (11) формулы x2 = x1 cos - y1 sin , y2 = x1 sin + y1 cos . (12) (13)

c

h

a b = cos cos - sin sin .

Осталось сравнить последние две формулы. Запутаться, согласитесь, негде. Но один скользкий момент все-таки есть: вся трудность спрятана в формуле, выражающей скалярное произведение векторов через их координаты. Поэтому, прежде чем использовать на экзамене этот способ, надо вспомнить доказательство формулы для скалярного произведения. (И годится не всякое доказательство, а только то, в котором не использованы тригонометрические формулы сложения, иначе возникнет порочный круг.)
IV. Повороты

a sin a
Рис. 4

Подставив в (12) выражения (10) и (11), получим x2 = x cos - y sin cos - x sin + y cos sin . (14) Раскроем скобки и сгруппируем: x2 = x cos cos - y sin cos - x sin sin - y cos sin = = x cos cos - sin sin - y sin cos + cos sin . (15) Теперь заметим, что x2 = x cos + - y sin + , (16) и сравним формулы (15) и (16). В одной формуле коэффициент при x равен cos cos sin sin , в другой формуле (для той же самой координаты x2 ) коэффициент при x равен cos + . Получаем формулу (1). Аналогично, сравнивая коэффициенты при y, получаем формулу (2). (Возможно, кому-то сравнение коэффициентов покажется подозрительным приемом. Самый простой, на мой взгляд, способ обосновать его законность подставить в формулы (15) и (16) сначала x = 1, y = 0, а затем x = 0, y = = 1.)

b

b

g

g

Сейчас я изложу способ, к которому придраться труднее всего. Поворот вокруг точки O на угол это отображение плоскости, при котором всякая точка M переходит в такую точку N, что OM = ON и MON = (рис. 3). Угол откладывают против часовой стрелки, если положителен; если же < 0, то откладывают по часовой стрелке угол величиной . Поворот обычно обозначают R O , по первой букве слова rotation вращение (сравните: ротор, ротация).
N

следует из определений косинуса и синуса, в точку с координатами (cos ; sin ) (рис.4). Точка (0;1) при этом повороте переходит в точку (sin ; cos ). Далее, вектор (x; y) можно разложить в сумму векторов, параллельных осям координат, по формуле

b

b

g

g

b x; yg

= x 1; 0 + y 0; 1 .

bg

bg

b

g

b

g

Поскольку при повороте любой параллелограмм переходит в параллелограмм, легко понять, что для любых чисел x, y и любых векторов a , b верно равенство R


b

g

FG H

xa + y b = xR





IJ K



FG a IJ HK


+ yR



FG b IJ HK


.


Значит, вектор (x; y) при повороте R переходит (рис.5) в вектор xR 1; 0 + yR = = sin


bg xb cos ; b x cos



b0; 1g = g + yb -

sin ; cos =

g

- y sin ; x sin + y cos .

g

Упражнения 14. Для y2 выведите формулу, аналогичную формуле (14), и убедитесь, что таким образом получаются те же самые формулы (1) и (2). 15. Найдите уравнение окружности, в которую переходит окружность с центром (0;3) и радиусом 2 при повороте вокруг начала координат на а) 90њ; б) 45њ. 16. В какую точку переходит точка (x;y) при отражении относительно прямой, проходящей через начало координат под углом

M

j O
Рис. 3

Последняя формула позволяет написать выражения для координат x1; y1 точки, в которую переходит точка x; y при повороте на угол вокруг начала координат:

c

h bg

x1 = x cos - y sin , y1 = x sin + y cos .

Для координат x2 ; y2 точки, в кото-

c

h

(10) (11)