Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/38.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:56 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:14 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п

!&
б) 2 sin x + cos x = 2 . 5. Найдите наибольшее значение функции f x = 3 cos x - 4 sin x . 6. Найдите множество значений функции g x = 12 sin x + 5 cos x . 7. а) б) 8. 9. Докажите sin 3 = 3 cos 3 = 4 Выразите Докажите

КВАНT 2000/?4

Нужно ли отдельно рассматривать значения x = 90њ + 180њn, где n целое число?

>C

I. Проведем высоту

>C

а) sin 2 = б) cos 2 =
в) tg =

формулы 3 sin - 4 sin ; 3 cos - 3 cos . cos 4 через cos . формулы 2tg
2

Перейдем к самому интересному к доказательствам тождеств (1) и (2). Для удобства читателя доказательства пронумерованы. Сейчас, как видно из заголовка этого раздела, мы рассмотрим первый способ. Опустим высоту CH на сторону AB треугольника ABC (рис. 1,а): AB = AH + HB = AC cos + BC cos . (8) Вспомним теорему синусов: AB = =2Rsin , AC = 2Rsin и BC = 2Rsin ,
a C C

1 + tg 1 - tg 1 + tg
2 2

;

;

. sin 2 (Эти формулы называют формулами универсальной тригонометрической подстановки. Они позволяют любое уравнение, в котором присутствуют sin и cos , свести к уравнению с одной неизвестной: tg . Обратите внимание, что области оп2 ределения левых и правых частей не совпадают. Поэтому безоглядное применение этих формул может приводить к неприятностям.) 10. Докажите формулы sin 2 ; а) tg = 1 + cos 2 sin + ; б) tg + tg = cos cos

1 - cos2

приведения: cos = sin(90њ ), sin( + 180њ) = sin и т. п. При помощи них можно свести общий случай к ситуации, для которой формула благополучно доказана. Но ничего особенно интересного в этом скучном разборе случаев нет. А потому я не буду этим заниматься и вам не советую, особенно если предстоит сдавать экзамен: вряд ли у экзаменатора хватит терпения выдержать такой перебор. Он просто скажет вам: 'До тех пор, пока не разобраны все случаи, считать формулу доказанной нельзя. Приходите через год!'. И будет прав: если перебор неполон, то утверждение не доказано, а оценка за это полагается сами знаете какая.
II. Выясним геометрический смысл

A б

= H C C

>

B

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат и отложим от оси абсцисс против часовой стрелки угол величиной , а от полученного луча OA угол величиной (рис. 2). Опустим перпендикуляры BD и BE на ось абсцисс и луч

y B

>

C

sin - ; cos cos sin + ; г) ctg + ctg = sin sin sin - д) ctg - ctg = . sin sin 11. а) Нарисуйте на клетчатой бумаге прямые, заданные уравнениями y = 2х 3 и y = 5 3x. Измерьте транспортиром величину угла между ними и затем найдите эту величину не приближенно, а точно при помощи формулы тангенса разности. б) Найдите величину угла между прямыми, заданными уравнениями y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2 (угловые коэффициенты k1 и k2 это тангенсы углов наклона прямых к положительному направлению оси абсцисс). 12. Ученик решал задачу и получил неверный ответ. Могла ли быть тому виной использованная им формула 2tg tg 2 = ? 1 - tg2 13. Решите уравнение
в) tg - tg =

>

C

A
Рис. 1

=

> B H

>

C

>

C

где R радиус описанной окружности треугольника ABC. Подставим эти выражения в формулу (8) и разделим на 2R. Получим
sin = sin cos + sin cos .

> O
Рис. 2

C = D

E F

A x

tg x + 45њ = - 9 ctg x - 1 ,

>

C

2

воспользовавшись формулой tg x + 1 tg x + 45њ = . 1 - tg x

>

C

Осталось заметить, что sin = = sin 180њ- - = sin + , и формула (1) доказана. Существенный недостаток этого доказательства в том, что и должны быть острыми углами иначе треугольник ABC с нужными нам углами либо вообще не существует, либо же высота CH падает не на сторону, а на ее продолжение. Впрочем, эти ограничения можно ослабить, заменив их на неравенства 0 < , 0 < , + < 180њ: например, если угол В тупой (рис.1,б), то АВ = АН ВН = AC cos BC cos 180o - = AC cos + BC cos . Однако в формуле (1) величины и могут быть любыми, не обязательно положительными; и даже если они положительны, их сумма + не обязательно меньше 180њ. Как быть? Приходится использовать формулы

>

C

>

C

OA. Затем из точки E опустим перпендикуляры EF и EC на прямые OD и BD. По свойству углов с взаимно перпендикулярными сторонами, CBE = EOF = . Имеем: sin + = BD = BC + CD = = BC + EF = BE cos + OE sin = = sin cos + cos sin ; cos + = OD = OF - DF = = OF - CE = OE cos - BE sin = = cos cos - sin sin . Изложенное доказательство гораздо лучше первого: оно верно для любых величин и для положительных и отрицательных, больших и маленьких. (Использованные величины 'сами собой' в нужных случаях положительны, в нужных отрицатель-

>

C

>

C

@

E