Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/37.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:56 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:13 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Ш К Ш К ОА А В ' КК А Н Т Н'Т Е ' ОЛ Л В ' ВВА Е

!%
суммы: tg + = =

Тригонометрические тождества
Л.СЕМЕНОВА

>

C

> cos>

sin +

+

C C

=

= cos cos - sin sin sin sin + tg + tg cos cos = . = sin sin 1 - tg tg 1- cos cos

sin cos + cos sin

В

на двух формулах: sin + = sin cos + cos sin , (1) cos + = cos cos - sin sin . (2)

СЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ ОСНОВАНА

(4):

> >

C C

cos + + cos - = 2 cos cos , cos - - cos + = 2 sin sin . (7) Три последние формулы можно использовать для преобразования произведений тригонометрических функций в суммы: sin cos = cos cos = sin sin = 1 2 1 2 1 2

b

g

b

g

Заменив на - , получим формулу тангенса разности: tg - =

b

g

b

g

(6)

>

C

tg - tg 1 + tg tg .

Скажете, слишком смелое утверждение? В школе учат не две, а два десятка формул, никакой системы не видно, одно спасение шпаргалка... Тем не менее, я вскоре расскажу, как из этих двух тождеств можно вывести многие другие. И станет ясно, что ни одну из многочисленных формул тригонометрической шпаргалки не обязательно (даже вредно!) заучивать наизусть. Гораздо полезнее понять основную идею тогда при необходимости можно быстро вывести нужную формулу. Когда вы вполне овладеете этой идеей, неизбежно встанет вопрос: как доказывать сами тождества (1)(2)? Так вот, мы докажем их шестью способами! Наиболее бесхитростен второй способ, который раскрывает геометрический смысл всех выражений, входящих в эти тождества. Остальные способы тоже очень красивы и показывают разнообразные связи тригонометрии: первый с теоремой синусов, третий с поворотами, четвертый со скалярным произведением, пятый с теоремой Птолемея, шестой с комплексными числами. Следствия из двух основных формул Подставим - вместо в формулы (1) и (2):
sin - = sin cos - cos sin , (3) cos - = cos cos + sin sin . (4) Cложим (1) и (3): sin + + sin - = 2 sin cos . (5) Cложим (2) и (4) и вычтем (2) из

csinb ccosb

+ + sin - , + + cos - ,

g g

b

gh

ccosb

g

b

gh

- - cos + .

b

gh

Формулы для тангенса разности и тангенса суммы верны не при любых значениях переменных и , а только при тех, для которых tg и tg существуют (т. е. , + n 2 ни при каком целом n) и знаменатель не обращается в ноль (т. е. в случае тангенса суммы tg tg 1 , а в случае тангенса разности tg tg -1 ). Поэтому при использовании этих формул следует обращать внимание на значения переменных, при которых формулы применять нельзя.
Упражнения 1. Докажите, что 2 2 а) cos 2 = 2 cos - 1 = 1 - 2 sin ; 2. Докажите формулы

Положим теперь x = + , y = - . Тогда = x+y 2 ,= x-y 2 ,

б) sin2 sin2 = sin sin + .
2 sin + 45њ ;

> C> C
b
+ ; 4

а) cos + sin =

б) cos - sin = 2 c

и из формул (5)(7) получаем формулы для преобразования сумм и разностей тригонометрических функций в произведения: sin x + sin y = 2 sin cos x + cos y = 2 cos cos y - cos x = 2 sin x+y 2 x+y 2 x+y 2 cos cos sin x-y 2 x-y 2 x-y 2 , , .

в) cos + 3 sin = 2 sin + 30њ . 3. Убедитесь, что если хотя бы одно из чисел a и b отлично от нуля, то

b F ossG H

g IJ K

g

a cos x + b sin x =
2 = a +b 2

F GG H

a a +b
2
2 2

cos x +

b a +b
2 2

sin x =

=

a +b

2

b

sin cos x + cos sin x =

=

a + b sin x + ,

2

2

b

g

I JJ K

g

> >

C C

где такой угол, что sin = a
2 2

a +b

2

2

Из формул (1) и (2) можно вывести и другие тригонометрические формулы. Например, подставив = , получим sin 2 = 2 sin cos , cos 2 = cos - sin . Легко получить и формулу тангенса
2 2

>

C

>

C

и cos = b a + b . (Мы получили так называемую формулу введения дополнительного угла. Если x = = t , где ненулевая постоянная величина, t время, то получаем, что сумма двух гармонических колебаний y = a cos t и y = b sin t гармоническое колебание.) 4. Решите уравнения а) sin x + cos x = 2 ;