Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/36.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:56 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:13 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: облака

!$
ная энергия пропорциональна x 2 (см. рис.1,в). Вспомним, например, пружину жесткостью k: возвращающая сила равна F = kx, потенциаль2 ная энергия равна П = kx 2 . В нашем случае, очевидно, k = = 4 MG , где М масса звездолета. Значит, суммарная механическая энергия звездолета, находящегося на расстоянии х от плоскости симметрии облака и имеющего здесь скорость v, равна Mv 2
2 2

КВАНT$ 2000/?4

+ 4 MG

x

2

2

.

гими, то каждая из них (массой m) сообщает звездолету импульс 2mv, а так как в единицу времени он 'заметает' объем пространства S v , то полный поток импульса (т.е. сила сопро2 2 тивления) составит a 2v (здесь учтено, что = mn, где n концентрация молекул в облаке). Значит, при перемещении звездолета на расстояние x работа силы сопротивления 2 2 равна a 2v x . Полная механическая энергия второго звездолета уже не будет постоянной (см. рис.1,в), и ее убыль на перемещении x составит

Первый звездолет-диск, движущийся ребром к границам плоского облака, почти не встречает сопротивления. Поэтому его суммарная механическая энергия постоянна и равна, например, ее значению на краю облака M0 2
2

F1 F v I GG 2 G J HH K
0

2

+

x

2

2

I JJ K

=

=-

a2 2 v M 0

FG IJ HK

2

x . (5)

+

4 MG h 2

FG IJ H 2K

2

N ) D/2 0 `D/2 * J 6 J J

(учтено, что скорость при этом нулевая). Тогда закон сохранения энергии звездолета можно записать так:

F GH

v 4 G

I JK

2

+x =

2

FG h IJ H 2K

2

.

(2) Очевидно, что это будут уже затухающие колебания (см. рис.3; штриховая линия). Период их будет больше T0 , и ясно почему: из-за силы торможения второй звездолет уже впервые дойдет до плоскости симметрии (точка В) позднее, чем первый. А на фазовой плоскости движение второго звездолета изобразится в виде спирали (см. рис.1,г). Можно написать решение уравнения (5) в виде кривой в фазовой плоскости:

Здесь 4 G = 0 это угловая частота гармонических колебаний звездолета внутри параболической потенциальной ямы (рис.3), следовательно, период колебаний будет равен T0 = 2
0

=

G

.

(3)

С другой стороны, соотношение (2) можно графически представить в координатах х, v 0 (на так называемой фазовой плоскости) в виде окружности радиусом h/2 (см. рис.1,г): движение начинается из точки А (где x A = h/2 и v A = 0) и в отсутствие трения происходит вечно, возвращаясь в эту же точку через время T0 . А еще можно записать смещение и скорость звездолета 1 как функции времени: x= h 2 cos 0 t , v = - h 2 0 sin 0t . (4)

FvI GH JK
0

2

= -2l x - l -

F GG H

FG H

h 2

-l e

IJ K

h 2- x l

I JJ K

,

(6)

где введено обозначение l= M a 4
2

.

(7)

техники Московского физико-технического института тогда и сможет. Да, но! воскликнул капитан одного из звездолетов. Если внутри этого газового слоя есть гравитация, то почему он не сжимается к плоскости симметрии?! Другой капитан объяснил ему по радио, что сжатию препятствует хаотическое, 'тепловое' движение молекул. В самом деле, хотя облако и холодное температура порядка 20 К, т.е. раз в 15 меньше, чем средняя температура Земли, но и молекулы водорода тоже раз в пятнадцать легче, чем молекулы воздуха, поэтому средняя скорость их теплового движения никак не меньше, чем у молекул земной атмосферы, а ведь атмосфера не падает на поверхность нашей родной планеты. Конечно, плотность атмосферы не постоянна она убывает с высотой, так что и наличие резкой границы плотности у встретившегося облака есть не более чем предположение, упрощающее расчеты. Теперь осталось подставить в уравнение (6) кинематическое определение скорости v = dx/dt и, решая полученное дифференциальное уравнение (например, на компьютере), найти 'расписание движения' x(t) второго звездолета. Но это и не обязательно делать прямо сейчас пусть этим занимаются штурманы, а мы по сути дела уже все описали качественно. Например, моменты времени новых встреч звездолетов ( t1 , t2 , ) можно будет найти из графиков на рисунке 3. Сделаем лишь некоторые численные оценки. Примем плотность моле-16 3 кг м , кулярного облака ;10 его характерную толщину h ; 0,1 парсека = 3 1015 м. В качестве данных для звездолетов возьмем, например, следующие: масса М ; 1000 тонн = 6 = 10 кг (три современных авиалайнера), радиус диска а ; 100 м. Тогда, согласно выражению (3), для периода гармонических колебаний первого звездолета получим T0 ; 6,67 10
-11

С такой точки зрения, равенство (2) это просо теорема Пифагора в координатах х, v 0 . Но что происходит со вторым звездолетом, который пересекает облако плашмя? Так как у него большое попе2 речное сечение S = a , где а его радиус, он будет тормозиться за счет столкновений с молекулами. Если считать удары молекул абсолютно упру-

Величина l имеет размерность длины и, очевидно, является тем характерным расстоянием, на котором существенно изменяется кинетическая энергия второго звездолета из-за силы сопротивления. Кто хочет убедиться в правильности этого решения, пусть подставит его в уравнение (5), а кто не может, пусть не расстраивается, а поступает на факультет аэромеханики и летательной

м
3 2

кг с

10
14

-16

кг м
3

;

; 0,3 10

6 c 10 лет.

Наибольшая скорость движения, которая достигается в плоскости симметрии облака (при х = 0), согласно уравнению (2), равна (Продолжение см. на с. 41)