Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/28.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:56 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:54 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ч нн

&

КВАНT 2000/?4

наибольшее слагаемое равно 1/729, а слагаемых всего лишь 635.) Следовательно, b1000 < 7. Это позволяет утверждать, что
a1000 < 2000 - 1 + 7 < 2025 = 45 ,
2 2

откуда a1000 < 45 . в) Использованный при решении пункта б) прием позволяет доказать, что lim bn n = 0. Поскольку an = =
2n - 1 + bn , получаем ответ: lim a
n n n

n=

2.

Ф1728. Источник света движется равномерно вдоль прямой со скоростью v = 0,2 с, где с скорость света. На расстоянии d от этой прямой находится наблюдатель. Запаздывание пришедшего к наблюдателю света приводит к тому, что движение источ- Кажущийся Источник ника кажется ему v неравномерным. Каx x ким будет максимальное наблюдаемое ускорение источника d света? При выбранном начале координат (см. рисунок) и нулевом моменте при прохождении начала координат имеем . = v c Выразим отсюда координату x1 и вычислим скорость x1 и ускорение x1 :
x1 = v x1 = vc
2 2 2

А.Спивак М1720. N одинаковых деревянных кубиков склеены между собой так, что каждые два из них склеены по грани или по участку грани. Докажите, что максимальное значение N равно шести. Приведем расположение шести деревянных кубиков, в котором каждые два склеены, как сказано в условии задачи (рис.1): три 'черных' кубика стоят на плоскости стола, а три 'красных' кубика стоят над ними (вид сверху!). Теперь выстроим цепочку наглядных представлений и соображений, из которых будет следовать, что max N = 6 . Определимся сначала с Рис.1 плоским случаем: если на столе лежат n одинаковых картонных квадратов, каждые два из которых склеены по стороне или по участку стороны, то max n = 3 , что очевидно (рис.2). Будем говорить, что n деревянных кубиков (из имеющихся N) принадлежат одному слою, если найдется плоскость (стол), на которой все они стоят. Из вышесказанноРис.2 го следует, что n 3 . Нетрудно убедиться, что если все N кубиков параллельно расположены, т.е. каждый из них является результатом параллельного переноса другого, то N 4 . Пусть среди N кубиков нашлись два кубики Q1 и Q2 , которые не являются параллельно расположенными (транслятами), а плоскость общая плоскость двух соприкасающихся граней этих кубиков. Плоскость определяет два слоя, одному из которых принадлежит кубик Q1 , а другому кубик Q2 . Заметим, что всякий третий деревянный кубик обязан принадлежать одному из этих слоев. Но в каждом слое кубиков не больше трех, значит, N 6 . В.Произволов

x = vt ,

x - x1

x1 + d

2

2

c t- c v t +d c -v

2

2 22 2

2

c -v

F GG GH

c -v 1-

2

e

2

2

j

,

vt

2

c2v 2t 2 + d 2 c2 - v vcd
32 2 2

e

2

I JJ j JK

,

x1 = -

e

c2v 2t 2 + d 2 c2 - v

e

jj

32

.

Видно, что максимальное по модулю ускорение будет при t = 0: 32 2 vcd am = x1 0 = = 32 d 3 c2 - v 2

bg

e

j

=

vv dc

2

Если же говорить о действительно максимальном ускорении, то оно равно нулю и получается таким при t = + (т.е. задолго до нулевого момента и через очень большое время после него). В.Шелест Ф1729. На гладком горизонтальном столе происходит лобовой удар двух одинаковых тел одно из них вначале покоится, другое налетает на него со скоростью v0 . Куда и с какой скоростью будет двигаться после удара налетевшее тело, если при ударе в тепло переходит 1% от максимальной энергии деформации тел? Максимальная энергия деформации получается в тот момент, когда в процессе соударения скорости тел равны, т.е. эта энергия равна половине начальной кинетической энергии E0 налетающего тела, а тепловые потери составляют E0 200 . Для скоростей тел после удара, в соответствии с законом сохранения импульса и выражением для кинетической энергии (с учетом потерь), можно записать 2 2 2 u1 + u2 = v0 , u1 + u2 = 0995 v0 . ,

F GH

1-

v c

2 2

I JK

-3 2

85 10 ,

-3

c

2

d

.