Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/09.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:55 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:50 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

НЕРАВЕНСТВО

ИЕНСЕНА

Продемонстрируем силу неравенства Иенсена на конкретном примере. А именно, докажем знаменитое неравенство КошиБуняковского

e

2 a1

+K+ a

2 n

je

2 b1

+K+

2 bn

a1b1 + K + anbn ,

c

j



h

2

где a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn произвольные положительные числа. Доказательство. Как мы знаем, 2 функция у = x выпуклая. Напишем для этой функции неравенство Иенсена (3):

F GH

m1 x1 + K + mn x m1 + K + m
2 n

n

I JK

2


2 n



m1 x1 + K + mn x m1 + K + m
2 n n

( mi > 0 ).

Следовательно,

e

m1 x1 + K + mn x

2



jcm cm

1

+K+ m

n

h


n

11

x + K + mn x a
i

h

2

.

Положив mi = bi2 , xi = требуемое неравенство.

bi

, получим

Упражнение 3. Докажите неравенство КошиБуняковского для произвольных вещественных чисел ai , b i .

Чтобы вывести неравенство f x > > l x из неравенства f a > 0, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть g x такая функция, что g a = g a = 0 и g a > 0. Тогда при всех х, достаточно близких к а и отличных от а, g x > 0. Это понятно с физической точки зрения: если покоящемуся телу (скорость g a = = 0) придать положительное ускорение (ускорение g a > 0), то тело начнет перемещаться в положительном направлении. Рассмотрим теперь функцию g x = = f x l x . Поскольку графики функции f x и l x проходят через одну точку и имеют в ней одинаковый наклон, g a = g a = 0. Кроме того, g x = f x , так как вторая производная линейной функции l x равна нулю. Значит, g a > 0 и, согласно сказанному в предыдущем абзаце, g x > 0 при х, достаточно близких к а. Это и значит, что f x > > l x . Случай f x < 0 рассматривается аналогично. Пользуясь теоремой, мы 'запасемся' несколькими выпуклыми и вогнутыми функциями. От вас при этом требуется умение вычислять производные.

bg

bg

bg bg

bg

bg

'
Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом
x1 + K + xn n x1 K xn ( xi > 0 ). n Доказательство. Прологарифмируем обе части этого неравенства: ln

bg

bg

bg

bg

FG H

1 n

x1 + K +

1 n

x

n

IJ K

1

bg

bg bg bg bg bg bg bg bg bg

bg

bg

bg

ln xn . n n Полученное неравенство напоминает нам неравенство Иенсена, однако знак неравенства 'смотрит не туда'. Объясняется это тем, что функция ln x не выпуклая, а вогнутая (пример 3).

1

ln x1 + K +

bg

bg

Неравенство Гельдера
Пусть р, q положительные числа, 11 причем + = 1. Тогда pq


i =1

n

ai bi

FI GG a JJ HK
n p i i =1

1 p

FI GG b JJ HK
n q i i =1

1 q

( ai , bi > 0 ). Доказательство. Ясно, что р > 1, поэтому функция у = x p выпуклая (пример 1). Напишем для этой функции неравенство Иенсена (3):

Примеры 1. y = x (x > 0). -2 Так как y = - 1 x , то при 0 < < < 1 функция вогнутая, а при < 0 и > 1 выпуклая.

Примеры выпуклых функций
Для успешного применения неравенства Иенсена необходим простой критерий, позволяющий определять, является ли данная функция выпуклой. Теорема. Пусть у = f x дважды дифференцируемая функция. Если ее вторая производная положительна, то функция выпукла, а если вторая производная отрицательная, то функция вогнута. Мы не будем аккуратно доказывать эту теорему, поясним только ее геометрический смысл. Пусть f x > 0 для всех х. Очевидно, что надграфик окажется выпуклым, если график функции в каждой точке 'поворачивает' вверх относительно касательной в этой точке. На языке формул это означает, что если l x линейная функция, график которой касательная к графику функции f x в точке a, f a , то f x > l x при всех х, достаточно близких к а и отличных от а.

b

g

x 2 Так как y = a ln a > 0 , то функция выпуклая.

2. y = a ( a > 0, a 1 ).

x

bg

3. y = log a x (x > 0, a > 0, a 1 ). Так как y = - тая. 4. y = ln 1 + e
1 x ln a
2

Отсюда

F GH

m i x m
i

i

I JK

p



mi x m
i

p i

.

, то при a < 1

mi xi m

c he
i
p -1 p

m i x p

p i

j

1 p

.
1 q

функция выпуклая, а при a > 1 вогну-

Так как поэтому

1 p

+

1 q

= 1, то

p -1

=

,и

e

x

j

.
e
x x

Так как y = ция выпуклая. 5. y = x ln x .

bg

e1

+e

j

2

> 0 , то эта функ-

mi xi mi x

e

pp i

j c m h
1

i

1 q

.

Так как y = пуклая. 6. y = 1 + x

1 x
1

Положив теперь mi = biq , xi = ai bi1- q , получаем требуемое неравенство.

> 0 , то функция вы-

Неравенство Минковского
n

bg

e



j

(x > 0).

a1 K an + n b1 K bn

n

bg

c b gh

bg bg

1 + x , то Так как y = - 1 x при < 1 функция вогнутая, а при > 1 выпуклая.
-2

b

g

e

j

1 -2

c

a1 + b1 K an + bn

hc

h

( ai , bi > 0 ). Доказательство. Поделив обе части неравенства на n a1 K an ,

Теперь мы можем доказать несколько классических неравенств.

3 Квант ? 4