Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/07.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:55 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:49 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п

Неравенство Иенсена
НЕРАВЕНСТВО ИЕНСЕНА

%

О.ИЖБОЛДИН, Л.КУРЛЯНДЧИК

неравенства овладеть далеко не просто. Тут требуется большой опыт, интуиция, и, как в каждом искусстве, умение свободно применять различные 'технические' приемы. Мы продемонстрируем один из таких приемов на ряде примеров. В этой статье будут доказаны и классические неравенства (Коши, КошиБуняковского, Гельдера и Минковского), и менее знаменитые, но также весьма интересные. Мы будем записывать формулы, как правило, коротко, с помощью обозначений

И

СКУССТВОМ ДОКАЗЫВАТЬ

двумя своими точками она содержит весь отрезок с концами в этих точках. На рисунке 1 показаны примеры выпуклых и невыпуклых фигур. Выпуклые фигуры обладают многими замечательными свойствами, но нас будет интересовать лишь одно из них. Сформулируем его: Пусть в точках A1 , A2 , , An выпуклой фигуры Ф сосредоточены массы m1 , m2 , , mn соответственно. Тогда центр масс этих точек также принадлежит фигуре Ф. Из физики известно, что центр масс плоской фигуры это точка с координатами

пуклым не является. Однако выпуклым является подграфик этой функции (на том же рисунке он закрашен синим цветом). Эти наблюдения приводят к важному определению: Если надграфик функции является выпуклой фигурой, то говорят, что эта функция выпуклая, а если выпуклым является подграфик, то говорят, что функция вогнутая 1. Тем самым, функция у = x2 является выпуклой, а функция у = sin x ( x 0; ) вогнутой.


k =1 n

n

ak = a1 + a2 + K + an , ak = a1 a2 K an .


k =1

Советуем тем, кто еще не научился ими пользоваться, расписывать выкладки более подробно.

F mx my GG ; GG GH m m
n n i i i i =1 n i =1 n i i i =1 i =1

i

I JJ JJ JK

Основное неравенство
Среди известных классических неравенств особое место занимает неравенство Иенсена 2 . Все классические неравенства, упомянутые в начале статьи, являются его следствием. Теорема (неравенство Иенсена). Пусть у = f x функция, выпуклая на некотором интервале, x1 , x2 , , xn произвольные числа из этого интервала, а 1 , 2 , , n произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда

,

(1)

где xi , y i координаты точки Ai .
Упражнения 1. Докажите, что центр масс двух точек лежит на отрезке, их соединяющем. 2. Докажите, что центр масс n точек лежит на отрезке, соединяющем любую из них с центром масс остальных.

bg

Выпуклые множества
В основе доказательств неравенств, о которых будет идти речь, лежит понятие выпуклости. Это очень важное математическое понятие, и вы с ним уже встречались в школьном курсе геометрии при изучении многоугольников. Однако в математике понятие выпуклости связано не только с многоугольниками. Фигуру называют выпуклой, если с любыми
Опубликовано в 'Кванте' ?4 за 1990 год.

Выпуклые функции
Нарисуем график функции у = x 2 (рис.2,а). Мы видим, что надграфик этой функции (на рисунке он закрашен красным цветом) является выпуклой фигурой. Если же рассмотреть функцию у = sin x ( x 0; ), то ее надграфик (на рисунке 2,б он закрашен красным цветом) выa

f 1 x1 + K + n x

c

1 f x1 + K + n f xn . (2)

ch

n

h



ch

Доказательство. Рассмотрим на графике функции у = f x точки A1 , A2 , , An с абсциссами x1 , x2 , ..., xn . Расположим в этих точках грузы с массами m1 , m2 , , mn .

bg

1 В некоторых учебниках принята другая терминология. 2 Иенсен Иоганн Людвиг (18591925) датский математик.

б



F

Рис.1
2*

Рис.2