Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2005-05.pdf Дата изменения: Mon Oct 9 20:53:20 2006 Дата индексирования: Mon Oct 1 16:49:19 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п р п р п п р п п р п п р п



2005

ї

СЕНТЯБРЬ ОКТЯБРЬ

Ю

5

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере: 2 8
Учредители -- Президиум Российской академии наук, Фонд поддержки фундаментальной науки и образования (Фонд Осипьяна)
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

Динамика паникующей толпы. К.Богданов Числа Пизо. А.Егоров
ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

14 15 17 23 24 24 27

Карлов университет. А.Васильев
ЗАДАЧНИК 'КВАНТА'

Ю.А.Осипьян
ПЕРВЫЕ ЗАМЕСТИТЕЛИ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

Задачи М1966-М1975, Ф1973-Ф1982 Решения задач М1946-М1950, Ф1958-Ф1967
КМШ

С.С.Кротов, С.П.Новиков
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.Р.Зильберман, В.В.Козлов, С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Можаев, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан

Задачи Конкурс имени А.П.Савина 'Математика 6-8' Об одном математическом случае (окончание). С.Дворянинов Победители конкурса имени А.П.Савина 'Математика 6-8' 2004/05 учебного года
ШКОЛА В 'КВАНТЕ'

28 29 32 35 38 41 45 48 52 56

Ворона -- хвостом вперед? В.Козлов От пяди до Вселенной. С.Иншаков
КАЛЕЙДОСКОП 'КВАНТА'

(заместитель главного редактора)
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, Е.Л.Сурков, Л.Д.Фаддеев

Излучение
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Физика таранного устройства. С.Серохвостов, А.Хищенко
ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

Посмотрим сквозь линзу. В.Дроздов Иррациональность и квадратный трехчлен. В.Голубев
ОЛИМПИАДЫ

И.К.Кикоин
ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров
Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

XXXI Всероссийская олимпиада школьников по математике XXXIX Всероссийская олимпиада школьников по физике Международный турнир 'Компьютерная физика' XII Всероссийская заочная математическая олимпиада школьников
РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

57 58

Полезная книга по физике Ответы, указания, решения
НА ОБЛОЖКЕ

Бюро

Квантум

ї 2005, Президиум РАН, Фонд Осипьяна, 'Квант'

I II III IV

Иллюстрация к статье 'Динамика паникующей толпы' Коллекция головоломок Шахматная страничка Университеты мира на монетах и банкнотах


2

КВАНTћ 2005/?5

Динамика паникующей толпы
К.БОГДАНОВ
охватывая сначала небольшую группу людей, затем передается остальным, перерастая в неуправляемый процесс. Природа человека такова, что часто в экстренных ситуациях каждый человек ведет себя так же, как и все вокруг. Именно поэтому коллектив людей, объятых паникой, по существу перестает быть коллективом, теряет его признаки, становясь неуправляемой толпой. История хранит много примеров того, к каким человеческим трагедиям приводила паника толпы. Одна из них - Ходынская катастрофа, или просто 'Ходынка'

П

АНИКА - ЭТО ЧУВСТВО СТРАХА, КОТОРОЕ,

- произошла на северо-западе Москвы во время народного гулянья 18 мая 1896 года в дни коронации императора Николая II. По традиции, народ, присутствующий при коронации нового царя, всегда одаривали подарками. А в тот раз ходили слухи, что подарки будут очень дорогими.1 Поэтому привлеченная бес1 На самом деле, подарочный набор включал в себя завязанные в платок булку, пряник, колбасу, немного сушеных фруктов и орехов, а также эмалированную - в то время большая диковинка - кружку с императорскими вензелями. С этой кружкой можно было подойти к многочисленным кранам с пивом и медовухой.

Иллюстрация В.Власова


ДИНАМИКА

ПАНИКУЮЩЕЙ

ТОЛПЫ

3

платными гостинцами и зрелищами публика начала стекаться к Ходынскому полю еще с вечера, а к рассвету, когда число страждущих увеличилось до полумиллиона, если не более, прошел слух, что буфетчики начали оделять 'своих' и что припасенного на всех не хватит. По свидетельству очевидцев, толпа вдруг вскочила, как один человек, и бросилась вперед, как будто от пожара. Между тем, местность, на которой были выстроены 150 будок с подарками и 10 пивных павильонов, была отделена от страждущих огромным оврагом (3 метра в глубину и 30 в ширину), откуда муниципальные службы обычно брали песок, необходимый для содержания в порядке московских улиц. В ответ на летевшие со всех сторон требования начать раздачу гостинцев растерявшиеся буфетчики принялись швырять узелки в толпу наугад - и тут началось самое страшное. Киоски брали штурмом, задние ряды напирали на средние... Произошла давка, в которой погибли, по официальным данным, 1389 человек и около 1300 получили увечья. По свидетельству А.С.Суворина, кружка из подарочного набора стоила 10 копеек и на 5 копеек было гостинцев - вот и вся стоимость подарка, за который столько людей заплатили жизнью. Для очистки совести Николай II распорядился выплатить каждой семье погибших по 1000 рублей. Кстати сказать, и в других странах случалось подобное. Так, в 1887 году, когда в Великобритании отмечали 50-летие вступления на трон королевы Виктории, в Лондоне при схожих обстоятельствах погибли около 4000 человек - и ничего, придворные церемонии не были нарушены. Можно ли избежать давки? Конечно, да! Но прежде чем давать конкретные советы, посмотрим, как возникает давка, используя для этого методы физики сложных систем - раздела физики, изучающего системы, состоящие из большого числа объектов, взаимодействие между которыми подчиняется каким-либо определенным законам. Такими объектами могут быть атомы, молекулы или песчинки, образующие дюны, а также люди, механически взаимодействующие друг с другом в толпе. Какие силы действуют на человека в толпе В соответствии со вторым законом Ньютона, для того чтобы предсказать поведение толпы через интервал времени t , необходимо знать положение и скорость каждого человека и силы, действующие на него в данный момент t. Другими словами, нам необходимо написать соответствующие уравнения для всех членов толпы, а потом решить эту систему уравнений. Сначала перенумеруем всех людей в толпе, состоящей из N человек, выберем человека под номером i и рассмотрим силы, действующие на него. Очевидно, что одна из сил, заставляющих человека i двигаться, это горизонтальная проекция силы реакции опоры, т.е. земли, отталкиваясь от которой он и движется в избранном направлении. Обозначим эту силу F i . Наталкиваясь на препятствия, которыми могут быть и

остальные люди из толпы, человек i испытывает на себе действие силы сопротивления, которую мы обозначим Fc i . Таким образом, если допустить, что все люди в толпе имеют одинаковую массу m (например, 80 кг), то уравнение второго закона Ньютона для i-го человека толпы принимает вид
m vi = F i + Fc i , t

(1)

где vi - изменение скорости i-го человека, произошедшее за интервал времени t в результате действия сил, стоящих в правой части уравнения. Теперь займемся каждой из упомянутых сил. Рассмотрим сначала, чем руководствуется каждый из нас, оказавшись в толпе одержимых идти куда-то. Пусть, например, все стремятся выйти из помещения, где начался пожар. Тогда, очевидно, вектор силы F i будет направлен к ближайшей двери, а абсолютная величина F i будет зависеть от того, насколько человек удовлетворен своей скоростью движения в сторону заветной двери. Иными словами, F i можно считать пропорциональной разности между 'желаемой' для данного человека скоростью движения v0i и настоящим ее значением vi . Это предположение позволяет записать следующее соотношение для F i :
v0i - vi , (2) где - коэффициент пропорциональности, имеющий размерность времени, который сопоставим с интервалом, необходимым человеку для разгона до 'желаемой' скорости (пусть, например, = 0,5 с). Нетрудно догадаться, что вектор v0i всегда направлен в сторону двери, а его абсолютная величина характеризует стремление охваченного паникой человека выбраться из горящего помещения. Каждому человеку кажется, что, чем больше будет значение v0i , тем раньше он выберется оттуда. Таким образом, v0i может служить мерой паники в толпе. После того как с помощью формулы (2) описана сила, влекущая i-го человека к двери, рассмотрим силы его взаимодействия с препятствиями, встречающимися на пути. Очевидно, что даже в условиях паники человек предпочитает не подходить вплотную к впереди идущему, если, конечно, его не толкают в спину сзади. Такое нежелание находиться очень близко к другим людям эквивалентно существованию некой силы отталкивания между людьми, которая возрастает с уменьшением расстояния между ними, аналогично кулоновской силе взаимодействия одноименных зарядов. Для простоты последующих вычислений можно считать, что на i-го человека со стороны j-го человека действует отталкивающая сила, абсолютное значение которой равно F i = m Fij = Ae
zi - z j - D B

,

(3)

где D - поперечный размер человека (пусть D = = 0,6 м), A и B - постоянные (равные 2000 Н и 0,08 м


4

КВАНTћ 2005/?5

соответственно), а вертикальными скобками обозначено абсолютное значение разности векторов, проведенных из начала координат к i-му человеку ( zi ) и j-му человеку ( z j ), которое равно расстоянию между этими людьми. Так, в соответствии с формулой (3), коснувшиеся друг друга люди противостоят отталкивающей силе в 2000 Н, которая при их взаимном отдалении уменьшается в e раз через каждые 8 см. Как показывает житейский опыт, двигаясь, человек избегает касания не только с другими пешеходами, но и со стенами и прочими ограждениями. Для описания этой характеристики движения i-го человека введем отталкивающую силу, действующую на него со стороны ближайшего участка стены перпендикулярно ее поверхности, и обозначим ее F"2 i . Очевидно, что формула для значения абсолютной величины этой силы может иметь вид, аналогичный (3), а именно
F"2 i = Ae
di - D 2 B

какой скоростью vC i он будет двигаться вдоль 'чужой' поверхности, и, во-вторых, от величины деформации при столкновении, которая заключена в скобки в формулах (5) и (6). Если эти величины известны, то сила трения при столкновении, действующая в сторону, противоположную скорости, равна

F2! i = -bVC i ,

(7)

,

(4)

где di - кратчайшее расстояние между i-м человеком и ближайшей стеной, A и B - те же, что и для силы (3). Силы, 'отталкивающие' человека от препятствий, описанные формулами (3) и (4), помогают ему избегать столкновений, но не всегда. В тех случаях, когда плотность людей и их 'желаемая' скорость велики, сумма сил Fij и F"2 i не спасает их от столкновений. Кроме того, столкновению людей между собой и со стенами способствуют необходимые иногда повороты на пути к выходу. Поэтому для полного описания сил, действующих во время давки, необходимо ввести силы упругого взаимодействия и трения при столкновении людей между собой и людей со стенами. Для простоты будем считать, что при столкновении людей между собой и со стеной их можно заменить вертикально стоящими цилиндрами с круговым поперечным сечением диаметром D . Очевидно, что столкновение таких цилиндров, моделирующих людей под номерами i и j, происходит тогда, когда расстояние между их осями становится меньше D. Величину силы упругого взаимодействия, отталкивающей их друг от друга, в соответствии с законом Гука, можно описать формулой

где b - коэффициент трения (120000 *г (м ") ). Таким образом, сила Fc i , стоящая в правой части равенства (1), является суммой сил, описанных формулами (3) - (7). При этом если i-й человек одновременно сталкивается с несколькими другими, то выражения (3), (5) и (7) следует вычислять для всех столкнувшихся людей. Кроме того, для всех них необходимо вычислять алгебраическую сумму сил, приложенных к каждому из них в радиальном направлении, так как известно, что если эта величина превысит 3000 Н, то человек может потерять сознание и стать жертвой паники. А всякий, кто теряет сознание в результате давки, перестает двигаться и поэтому становится дополнительным препятствием для толпы на ее пути. Пора включать компьютер! Читатель уже наверняка устал от формул и коэффициентов, взятых, как он, возможно, считает, с потолка. Автор частично разделяет такую оценку, обещая больше не испытывать терпение читателя. Искусство моделирования и заключается в том, чтобы вовремя остановиться. Кроме того, очевидно, что полностью описать в терминах физики и математики такие сложные процессы, как поведение человека, вообще невозможно. И все-таки попробуем предсказать движение толпы, используя формулы (1) - (7), хотя наверняка такое описание является весьма приближенным. Пусть в прямоугольном зале дискотеки размером 20 на 7 метров находится N человек и в момент времени t = 0 внезапно происходит возгорание электроаппаратуры, стоящей в углу зала. В результате возникает паника, и все устремляются к выходу. Чтобы начать моделировать движение толпы, нам необходимо задать начальные условия - положение людей и скорости их движения в момент времени t = 0. Поэтому с помощью компьютера распределим людей по залу так, как это показано на рисунке 1, и для простоты положим, что в момент времени t = 0 все люди стояли практически неподвижно и ждали, когда наконец включат музыку, т.е. vi = 0 для 1 ? i ? N . Ну, а теперь начнем писать программу, которая могла бы отслеживать движение каждого человека в толпе. Программа должна, учитывая расположение и скорости людей в момент времени t, для каждого i-го человека вычислить сумму сил, стоящую в правой части уравнения (1), а потом найти приращение vi , произошедшее за интервал времени t . После этого программа вычисляет новые значения vi , соответству-

F3

ij

= k D - zi - z

(

j

)

,

(5)

где k - коэффициент, пропорциональный жесткости человека в поперечном направлении (120000 Н/м). Формула, аналогичная (5), очевидно, справедлива и для столкновения i-го человека со стеной и имеет следующий вид:
F3"2 i = k ( D 2 - di ) ,

(6)

где di - минимальное расстояние между осью i-го цилиндра и стеной в области их контакта. Что касается силы трения F2! i , действующей на i-го человека при столкновении с 'чужой' поверхностью, то ее величина будет зависеть, во-первых, от того, с


ДИНАМИКА

ПАНИКУЮЩЕЙ

ТОЛПЫ

5

Рис.1. Распределение людей в прямоугольной комнате размером 20 Ч 7 м в начальный момент времени t = 0 (v0 = 0). Люди обозначены серыми кружочками диаметром 0,6 м. Стрелкой показан выход через дверь шириной b = 1,5 м

Рис.2. Полученное в результате моделирования распределение людей в комнате через 4 с после начала паники (v0 = 1,1 м/с, b = = 1,5 м). Плотность закрашивания соответствует величине суммарной силы сжатия, приложенной к каждому человеку со стороны окружающих людей и стены, в соответствии со шкалой, показанной здесь же

Рис.3. Распределение людей в комнате через 22 с после начала паники (v0 = 1,1 м/с, b = 1,5 м), когда почти половина из них уже вышли из помещения. Как видно, перед дверью образовалась группа людей мешающих друг другу выйти (блок)

Рис.4. Распределение людей в комнате через 4 с после начала паники (v0 = = 1,7 м/с, b = 1,7 м). Появились первые жертвы (изображены черными бубликами), суммарная сила сжатия которых превысила допустимый максимум 3000 Н

ющие моменту t + t , и передвигает i-го человека в направлении вектора vi + vi на расстояние, равное
vi + vi t . И все повторяется снова. Очевидно, что чем меньше будет значение t , тем точнее будут наши расчеты. Однако одновременно с увеличением точности расчетов растет время, необходимое компьютеру для решения задачи. Следует заметить, что с какого-то значения t , назовем его критическим, дальнейшее его уменьшение уже приводит к едва заметным изменениям. Поэтому t берут, например, в два раза меньше критического значения, значительно экономя, таким образом, время для вычислений. Исходя из этих соображений, было выбрано t = 0, 002 c , что позволило потратить около 40 минут для моделирования движения толпы, состоящей из 60-70 человек, в течение одной минуты. Как оказалось, одной минуты вполне хватало этой 'толпе', чтобы покинуть в панике помещение, правда оставив за собой нескольких 'сдавленных' вертикальных цилиндров. Чтобы упростить вычисления, предполагалось, что абсолютное значение 'желаемой' скорости v0i у всех людей из толпы одинаково, и поэтому в дальнейшем оно обозначается как v0 .

до 1,7 м/с соответственно. Так что для людей, оказавшихся вблизи выхода, подтвердилось известное правило: 'чем больше паникуешь, тем быстрее убежишь от неприятностей'. Отметим, однако, что несколько человек, следующих за счастливчиками, оказались сжатыми друг другом, что показано на рисунке 2 более интенсивным закрашиванием соответствующих кружочков. На рисунке 3 изображено положение людей в толпе в момент времени t12 , когда уже половина людей вышли из помещения. Видно, что к этому времени у дверей образовалась почти симметричная толпа, и поэтому человек, оказавшийся в проеме двери, испытывает сжатие с разных сторон. В таблице 1 приведена зависимость времени выхода первого человека ( t1 , лев. верх), половины всех людей ( t12 , лев. низ), максимальной силы сжатия у дверей в процентах к допустимой (прав. верх) и количества жертв (прав. низ) от уровня паники (величины скорости v0 ) и ширины дверей для начальных условий, изображенных на рисунке 1. Из таблицы следует, что рост скорости v0 дает очень малый выигрыш для Таблица 1

Посмотрим, что получилось Как показывают результаты моделирования (рис. 2), проходит совсем короткий промежуток времени t1 , всего несколько секунд, до того момента, когда первый человек выскакивает из помещения, и это время, конечно, уменьшается с ростом панических настроений (при увеличении v0 ). Например, для начальных условий, изображенных на рисунке 1, время t1 уменьшается с 7 до 4 с при увеличении v0 с 0,7


6

КВАНTћ 2005/?5

большинства людей в толпе, особенно для маленьких дверей. Так, для двери шириной 1,3 м увеличение v0 с 1,1 до 1,5 м/с вообще не приводит к уменьшению t12 . Кроме того, как иллюстрируют таблица 1 и рисунок 4, при панике и недостаточной ширине двери давление, сжимающее людей в центре толпы, часто достигает критического значения, после чего очередной 'сдавленный' человек становится дополнительным препятствием для толпы, затрудняя ее движение. Поэтому для каждой группы людей, находящейся в данном помещении, существует некое значение v0 , зависящее от ширины выходных дверей помещения, превышать которое не рекомендуется, если мы хотим избежать человеческой давки. Как нетрудно догадаться, относительно маРис.5. Зависимость количества людей, покинувших помещение (черная лый эффект влияния увеличения v0 на t12 кривая), и максимальной величины сжатия в толпе (красная кривая) от объясняется тем, что люди, сжимая друг друга, времени, прошедшего после начала паники (v = 1,7 м/с, b = 1,7 м, 0 увеличивают силы трения между собой (см. исходное число человек в комнате 63, пять из которых стали жертвами уравнение (7)). В результате относительная давки) доля усилий, затраченных на движение в стороно уменьшить число пересекающихся потоков вблизи ну двери, уменьшается, а вместе с этим уменьшается и дверей, а еще лучше - исключить их пересечение выигрыш от увеличения v0 . В этом и заключается вообще. Самое первое, что приходит в голову, это основное отличие между движением вязкой (но несжипопросить всех стать в очередь. Конечно, в условиях маемой) жидкости через место сужения и движением паники это нереально, но помещение можно спроектолпы через дверь. В первом случае скорость потока тировать так, чтобы даже паникующая толпа, подхожидкости прямо пропорциональна приложенному давдя к дверям, вынуждена была выстраиваться в очелению. Толпа же по своим механическим свойствам редь. близка к сжимаемой жидкости (например, жидкой резине), у которой вязкость (трение между соседними Выстраиваем толпу в очередь движущимися слоями) растет с ростом давления, и На рисунке 6 изображено помещение, выходя из поэтому увеличение прикладываемого давления привокоторого, люди должны пройти через сужающийся дит к непропорционально меньшему росту скорости коридор, в результате чего все они у дверей имеют один потока. и тот же вектор 'желаемой' скорости v0 . Иными Как видно из таблицы 1, с ростом паники и сужесловами, направляющий коридор, предшествующий нием двери растет количество 'сдавленных' людей, дверям, препятствует возникновению встречных людбульшая часть которых находится вблизи дверей. Это ских потоков у дверей. Поэтому разумно предполои неудивительно. Ведь у двери, находящейся в центжить, что при тех же начальных условиях толпа ре стены, сталкиваются, по крайней мере, три потока выйдет из помещения через сужающийся коридор людей, стремящихся к выходу, - два вдоль стен и быстрее и без жертв. один перпендикулярный проему двери. В итоге давРезультаты моделирования бегства толпы из такого ление на каждого человека, достигшего дверей, увепомещения показаны на рисунках, которые иллюстличивается, и если оно достигает критического значерируют различные моменты движения: подход к нания, то этот человек становится жертвой толпы. правляющему коридору (рис.7), выстраивание в очеНа рисунке 5 показано, как изменяется максимальредь и выход первого человека через дверь (рис.8), а ное давление (сжатие) в толпе по мере того как люди также момент, когда половина людей покинули помепокидают помещение. Видно, что самых высоких знащение (рис.9). Зависимость времени выхода первого чений давление достигает в первые секунды после человека (лев. верх), половины всех людей (лев. возникновения паники, когда разогнавшиеся люди, низ), максимальной силы сжатия у дверей в проценрасположенные близко к дверям, сталкиваются друг тах к допустимой (прав. верх) и количества жертв с другом. Потом, с уменьшением количества людей в (прав. низ) от уровня паники и ширины дверей толпе, давление постепенно падает, испытывая больдля начальных условий, изображенных на рисунке 6, шие колебания, соответствующие образованию и разприведена в таблице 2 (построенной аналогично табрушению 'дуги' из людей, не желающих пропускать лице 1). друг друга (см., например, рисунок 3). Поэтому росКак и следовало ожидать, направляющий коридор ту сжатия соответствует временное прекращение вызначительно уменьшает давление людей друг на друга, хода людей из помещения (интервалы между 11 и делая его меньше критического, что исключает появле12 с, а также между 14 и 16 с на рисунке 5). ние жертв давки в том же диапазоне изменения шириОчевидно, чтобы уменьшить количество жертв, нуж-


ДИНАМИКА

ПАНИКУЮЩЕЙ

ТОЛПЫ

7

Рис.6. Помещение тех же размеров, что и на рисунке 1, но с направляющим коридором, предшествующим выходу. Исходное расположение людей то же, что и на рисунке 1, v0 = 0

Рис.7. Распределение людей в комнате через 3 с после начала паники, когда первые люди достигли направляющего коридора (v0 = 1,7 м/с, b = = 1,1 м)

Рис.8. Распределение людей в комнате через 11 с после начала паники, когда первый человек покидает помещение (v0 = = 1,7 м/с, b = 1,1 м)

Рис.9. Распределение людей через 21 с после начала паники, когда почти половина людей покинули помещение (v0 = = 1,7 м/с, b = 1,1 м)

ны дверей и скорости v0 . Кроме того, как иллюстрирует таблица 2, направляющий коридор делает зависимость времени t12 от ширины двери еле заметной. Значит, действительно зависимость t12 от ширины двери, имевшая место в том случае, когда дверь была

Продолжите сами, если вам интересно! Моделируя движение толпы, мы рассмотрели всего два случая - дверь расположена в центре стены или имеется направляющий коридор. При этом всех людей мы сделали одинаковыми. А что буТаблица 2 дет, например, если в толпе есть дети, 'диаметр' и масса которых, как известно, меньше, чем у взрослых? Как зависит количество жертв от разброса параметров людей? Кто страдает в первую очередь? Мало того, что мы в своей модели сделали всех людей одинаковыми, мы лишили их разума, наделив только стремлением - вектором, направленным к двери. На самом деле, каждый человек даже в условиях паники оглядывается по сторонам и, если видит, что движение в направлении выхода затруднено, начинает искать обходные пути. Если ваша программа уже написана, попробуйте включить 'оглядывание' в ее текст -- полученные данные вас, по-видимому, удивят. Мы не успели рассмотреть, как зависит давка от того, во что одеты люди. А ведь для этого достаточно только изменить коэффициент трения либо у всех сразу (давка под дождем), либо ввести разброс значений этого коэффициента. Кто окажется с большей вероятностью жертвой давки: человек в плаще из скользкой или из шершавой ткани? Как влияют трибологические (т.е. ответственные за трение) свойства покрытий внутренних стен помещений на количество жертв? Заметим, что на все поставленные выше вопросы до сих пор нет достаточно вразумительных ответов.

в середине стены (таблица 1), возникает из-за пересечения там нескольких потоков людей. Интересно, что в тех случаях, когда ширина двери не позволяет через нее пройти сразу двоим (1,1 м), направляющий коридор практически устраняет зависимость сил сжатия и от уровня паники ( v0 ), которая присутствует при более широких дверях. Отсутствие роста сил сжатия при панике в этом случае тоже говорит о том, что траектории движения людей не пересекаются. Направляющий коридор не только помогает исключить жертвы при выходе из помещений, но и значительно уменьшает длительность давки у дверей - интервал между тем как первый и последний человек покинули помещение. Таким образом, пропускающая способность двери растет не только с увеличением ее ширины, что естественно, но и в тех случаях, когда толпа вытягивается в очередь.


8

КВАНTћ 2005/?5

Числа Пизо
А.ЕГОРОВ
ним удивительным свойством - их степени 'почти целые'. Это такие числа > 1 , для которых расстояние от n (n - натуральное число) до ближайшего целого числа стремится к нулю. Мы постараемся понять, почему это происходит. Но сначала рассмотрим примеры. Несколько примеров В 50 - 60-х годах прошлого века на математических олимпиадах различных уровней и в разных странах были популярны задачи, сходные со следующей. Задача 1. Найдите первые n знаков после запятой n в десятичной записи числа 5 + 26 . Задача эта удивительно просто решается. Пусть = 5 + 26 , а = 5 - 26 -- сопряженное с число. Слово 'сопряженное' в данном случае означает, что и - корни уравнения x2 - 10 x - 1 = 0 с целыми коэффициентами. Заметим, что если

В

ЭТОЙ СТАТЬЕ ПОЙДЕТ РЕЧЬ О ЧИСЛАХ С ОД-

Введем теперь некоторые обозначения. Для данного числа a будем обозначать через (a) ближайшее к a целое число, а через {{a}} - расстояние от a до (a), т.е. {{a}} = (a) - a . Определение 1. Будем говорить, что число обладает свойством Пизо, если расстояние от n до ближайшего целого числа стремится к нулю, т.е. если
0 при n . Вот еще один пример. Рассмотрим теперь кубический многочлен
n

{{ }}

p(x) = x 3 - 3x 2 - 2x + 1 .

(

)

Поскольку р(3) < 0, а р(4) > 0, многочлен р имеет корень на промежутке (3; 4). Аналогично, так как р(1) < 0 и р(0) > 0, у него есть корень на интервале (0; 1), а так как р(-1) < 0, то и на интервале (-1; 0) также имеется корень этого многочлена. Итак, многочлен р имеет в точности 3 корня ( -1; 0 ) , (0;1) , OE (3; 4) .

n = an + bn 26 , то n = an - bn 26 ,
где an и bn - натуральные числа. Но тогда

Упражнение 4. Докажите, что числа , , иррациональные.

n + n = 2an = An
-- натуральное число. При этом

Задача 2. Докажите, что число обладает свойством Пизо. Рассмотрим сумму

Sn = n + n + n .
Докажем, что Sn - целое число при любом n. Для этого сначала вычислим S1 , S2 и S3 . По теореме Виета для кубических многочленов
+ + = 3 , + + = -2 , = -1 ,

An - n =
и
An - n = n =

n

5 + 26 Таким образом, разность между n и An отличается 1 от нуля меньше чем на . Поэтому ( < 0 ) при 10n четном n первые n цифр после запятой - девятки, а при нечетном n - нули. Задача решена. Пока запомним, что и - иррациональные корни квадратного уравнения с целым коэффициентами, причем > 1 , а < 1 .
Упражнения 1. Существует ли такое n, что в десятичной записи числа

(

1

)

n

<

1 . 10n

поэтому
S2 = 2 + 2 + 2 = (+ +

)2

-2 ( + + ) = 13.

Вычислить S3 несколько сложнее. Для этого воспользуемся известной формулой

x 3 + y3 + z3 - 3xyz =

= ( x + y + z ) x 2 + y2 + z2 - xy - xz - zy .

2 + 2 окажется 1000 одинаковых цифр после запятой? Какие это цифры? 1 + 3. Докажите, что при n 5k расстояние от числа 2 1 до ближайшего к нему целого числа меньше, чем . 10k 2. Те же вопросы для чисел 8 + 65

(

)

n

Подставляя вместо x, y и z числа , , , получим, что
S3 = 3 + 3 + 3 = 3 (13 + 2 ) + 3 = 48.

(

)

(

)

n

.

Запишем очевидные равенства

n+3 n+ 3

5

n

- 3 - 3

n+2 n+2 n+2

- 2 - 2

n +1

+ n = 0 , + n = 0 ,



n +1 n +1



n+3

- 3

- 2

+ n = 0 .


ЧИСЛА

ПИЗО

9

Сложив их, получим
Sn
+3

- 3 Sn

+2

- 2Sn

+1

+ Sn = 0 .

(1)

Упражнение 6. Докажите, что первые 1000 знаков после запятой в десятичной записи числа 25000 из задачи 3 одинаковы.

Далее рассуждаем по индукции. При n = 1 из того, что S1 , S2 , S3 - целые числа, следует, что и S4 - целое число. Пусть