Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/61.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:14 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:21 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: dark nebula

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
= 972. Тогда ac + bd = 237916 и ac bd = 232084. Произведение 237916 232084 кратно 1000009. Вычислим наибольший общий делитель чисел 237916 и 1000009. Поскольку 1000009= = 4 237916 + 48345, имеем НОД(1000009,237916) = = НОД(48345, 237916). Далее, 237916 = 5 48345 3809. Значит, НОД(48345, 237916) = НОД(48345, 3809) = = НОД(13 3809 1172, 3809) = НОД(1172, 3809) = = НОД(1172, 3 1172 + 293) = НОД(1172, 293) = 293. (Аналогично можно было бы найти НОД(1000009, 232084) = = 3413.) 36. а) 1; б) 5 ; в) 5; г) 65 . 38. 4( a1 + 1)...( a r + 1). 39. Не может. 40. а) В разложение n на натуральные простые множители простые числа вида 4k 1 должны входить только в четных степенях, а простой множитель вида 4k + 1 может быть не более чем один, причем не более чем в первой степени. б) Число n должно иметь вид n = 2 m p a Q 2 , где p = 4k + 1 простое число, a 2, Q произведение простых чисел вида 4k 1, причем m должно быть четным при a = 2 и нечетным при a = 0. в) В разложение n на натуральные простые множители не должны входить простые числа вида 4k 1, число 2 может войти в степени не выше первой, а простой множитель вида 4k + 1 может быть не более чем один. 42. Указание. Воспользуйтесь результатом упражнения 38 и подумайте, как изменяется разность между количеством натуральных делителей вида 4k + 1 и количеством натуральных делителей вида 4k + 3 при переходе от числа n к числам pn, 2 3 p n , p n , ..., где p простое число вида 4k + 3, не являющееся делителем числа n. 7. В дырке! 8. Центр тяжести системы сначала будет понижаться, а потом повышаться. 9. Длиной 2 l . 10. В точке О середине отрезка O1O2 , соединяющего середины участков АВ и ВС стержня (рис.3).

B O O


O

C

A B

Рис. 3

A

Рис. 4

11. Центр тяжести лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шар массой 2m. 12. В центре шара. 13. Станция придет во вращение в противоположную сторону, причем ее центр будет описывать окружность вокруг общего с космонавтом центра масс.

R O R
Рис. 5 Рис. 6

C

Калейдоскоп'Кванта'
Задачи
Вопросыизадачи

A

1. Нет, так как относительные изменения силы тяжести всех элементов тела одинаковы. 2. Нет. Условие существования центра тяжести однородность поля тяготения. В неоднородном гравитационном поле повороты 'гантели' вокруг ее центра масс приводят к тому, что линии действия L1 и L2 равнодействующих сил тяжести, приложенных к шарикам, не имеют общей точки (рис.2). 3. При торможении на колеса со стороны дороги действует сила трения, создающая вращающий момент вокруг центра масс автомобиля. 4. Пара сил F1 и F2 сообщает телу вращение по часовой стрелке вокруг его центра масс, лежащего правее точки В. Следовательно, точка В станет двигаться против направления силы F2 . 5. Силы трения, сообщающие автобусу центростремительное ускорение, приложены не к его центру масс, а к нижним точкам колес, поэтому кузов автобуса движется по кривой большего радиуса, чем колеса. 6. Работа равна mgL/2, так как центр тяжести каната оказался поднят на высоту L/2.

14. Тележка и находящаяся в сосудах вода будут совершать колебания вокруг общего центра масс. После того как уровни воды в сосудах окончательно сравняются, движение тележки прекратится. 15. Траектория частицы массой m получается растяжением с коэффициентом подобия 2 траектории частицы массой 2m (рис.4). 16. Центр тяжести человека на ходулях значительно повышается, а площадь его опоры на землю уменьшается. 17. Во втором случае, так как центр масс канатоходца с ведрами лежит ниже, т.е. ближе к опоре канату. 18. Центр тяжести системы карандаш нож лежит ниже точки опоры. 19. При > 3 (рис.5).
Микроопыт

L

Центр тяжести С неваляшки находится ниже геометрического центра О шарообразной поверхности 'туловища'. В положении равновесия точка С и точка касания А игрушки с наклонной плоскостью должны находиться на одной вертикали; следовательно 'голова' неваляшки отклонится влево (рис.6).

L

'Квант' для младших школьников
Задачи (см. 'Квант' ? 2) 1. Обозначим цифры b1 , b2 , b3 , b4 таким образом, что
b1 b2 b3 b4 .

Тогда
Рис. 2

0 b1 + b3 - b2 - b4 9 .

61