Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/37.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:12 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:54 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: galactic collision

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

37
энергия тела за пределами атмосферы (на высоте порядка, например, 100 км, характерной для спутников Земли) много больше потенциальной. Действительно, принимая v = vII , g = 10 м с 2 , 5 2 у = 10 м, получим, что v 2 превышает gy раз в двадцать (а если учесть, что начальная скорость v0 должна превосходить vII , чтобы 'пробить' атмосферу, то и больше). Таким образом, вторым слагаемым в скобках в уравнении (3) можно пренебречь в сравнении с первым с высокой точностью (ошибка порядка нескольких процентов). Сила сопротивления (см. выражение (2)) изменяется не только из-за изменения скорости, но также и вследствие падения плотности воздуха с высотой в соответствии с так называемой барометрической формулой Больцмана:
= 0 e
- y y&

v11

Y (y) v y y*

F + mg v

l p
Рис. 1

R

/e



,

(4)

горой спутника Земли или Солнца? К чему и приступим. Предположим, что по вертикальному стволу вулкана движется случайно оторвавшаяся 'пробка' базальта, лавы или чего-то еще (рис.1). Конечно же, ствол цилиндрический, а пробка шаровая. И оба имеют одинаковый радиус R. А ускоряется эта пробка под действием давления р вулканических газов, намного превышающего атмосферное (по оценкам упомянутой Очень Научной Книги, давление при вулканическом взрыве порядка ста тысяч атмосфер). По выходе из жерла вулкана эта пробка приобретет наибольшую скорость v0 , после чего она начнет замедляться под действием сил тяготения и сопротивления атмосферы. Кстати, мы здесь не собираемся говорить привычных слов: 'сопротивлением воздуха пренебречь', потому что эта начальная скорость заведомо должна превосходить вторую космическую скорость
vII = 2 gRЗ 11 км с

Чему же равна эта сила сопротивления? Из соображений размерностей уже не раз получали ее зависимость от плотности воздуха , площади поперечного сечения движущегося тела S и скорости его движения v (проверьте, что слева и справа стоят ньютоны):
2 F = CSv .

(2)

(1)

(здесь RЗ радиус Земли) и, следовательно, пробка должна двигаться с большой сверхзвуковой скоростью. Действительно, приняв скорость звука по порядку величины равной с = 300 м/с, получим следующее значение отношения скоростей (его называют числом Маха1 ):
v
0

А вот безразмерный коэффициент C не может быть определен при помощи размерностей на то он и безразмерный. Но что удивительно сам сэр Исаак Ньютон позаботился о нем: для таких гиперзвуковых движений его теоретические рассуждения дают значение С = 1/2. Итак, что же происходит после 'выстрела пробки' из вулкана? Ее потенциальная энергия по мере движения вверх вдоль оси Y увеличивается, а кинетическая энергия уменьшается. И мы сказали бы, что их сумма остается постоянной применили закон сохранения механической энергии, и получили бы формулу (1). Но это в том случае, если бы эта энергия не тратилась частично на преодоление силы сопротивления воздуха. Значит, здесь мы должны записать, что изменение (убыль) суммарной механической энергии равно работе силы сопротивления F на участке пути y :


где 0 значение плотности атмосферы на уровне моря (при у = 0), а y& характерная толщина атмосферы (порядка высоты Эвереста), на которой значение плотности в e 2,7 раза меньше, чем 0 . Эта зависимость изображена на рисунке 1 справа (значения y показаны горизонтальными отрезками). Видно, что плотность атмосферы Земли очень быстро (физики говорят 'экспоненциально') падает с высотой. Зависимость (4) интересна тем, что если мы захотим приравнять массу вертикального столба атмосферы переменной плотности массе столба конечной высоты, но постоянной плотности 0 , то для этой высоты и получим значение y& . Иначе говоря, площадь прямоугольника 0 y& , заштрихованного на рисунке косыми линиями, равна площади под кривой y . Этот факт нам сейчас и пригодится. С учетом всего сказанного, уравнение (3) можно записать в виде

bg

bg

v v

2

2

=-

S m

F GG H

0 e

-

y y&

y .

I JJ K

(5)

3 10 м с Это уже случай гиперзвуковых скоростей, и конструктору летательных аппаратов даже не придет в голову пренебречь сопротивлением воздуха.

c

Ъ

vII c

=

11 10

3

мс

2

; 40 .

F GH

mv 2

2

+ mgy = - Fy .

I JK

(3)

Можно показать, что кинетическая
1 См., например, статью Г.Голицына 'От капли до землетрясения' в предыдущем номере журнала. (Прим.ред.)

Математик скажет, что это похоже на обыкновенное дифференциальное уравнение с разделенными переменными 2 (слева только v , справа только у). А Новый Русский увидит здесь нечто от сложных банковских процентов (для кинетической энергии). Теперь ничего не остается сделать, как решить уравнение (5). Конечно, студент первого курса Московского физико-технического института проделает эту операцию в уме. Но и школьник может тут сделать немало. Преж-