Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/25.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:12 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:11 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: р р р с р с р р р с р с р р р с с р р с р с р р п п р п п п п

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

25
8 10
2 n+ 2

Ф1697. Каждый из двух одинаковых трансформа~ торов имеет две многовитковые обмотки, в одной из которых витков вдвое больше, Рис.3 чем в другой. Трансформаторы соединены между собой так, как показано на рисунке 3 (никаких дополнительных подробностей нет!), и подключены к сети переменного напряжения 220 В. Что может показывать в этой схеме амперметр? Сердечники трансформаторов сделаны из материала с очень большой магнитной проницаемостью, потерь энергии в трансформаторах нет. Сопротивления резисторов по 1 кОм каждое. Р.Александров
)

Окончательно получим
> 10
3n

неравенство, неверное при любом n 3 . Замечание 1. Подобным же образом доказывается и общее утверждение: любая степень натурального числа может начинаться с любой наперед заданной комбинации цифр. Замечание 2. Фактически мы доказали существование числа х = 12abc такого, что x 3 = 1998... В действительности таких чисел даже два: 12596 3 = 3 = 1998471484736, а 12597 = 1998947500173. При этом 12596 наименьшее из всех пятизначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. В.Сендеров

Поправка. В условии задачи Ф1683, опубликованном в предыдущем номере журнала, должна быть задана высота вала H над поверхностью воды. Редакция приносит читателям свои извинения.

Решения задач М1661 М1665, Ф1673 Ф1682
кубе 8 Ч кубиков лельном лельном

М1661. Можно ли отметить 64 единичных кубика в

8 Ч 8 так, чтобы среди любых 8 отмеченных некоторые два находились в одном слое, паралграни куба, и при этом в каждом слое, паралграни, было отмечено 8 кубиков?

ОТВЕТ: да. Можно считать, что центры кубиков расположены в точках (x, y, z), х, у, z Z, 0 x, y, z 7 . Отметим все клетки, центры которых имеют сумму координат, кратную восьми. Нетрудно сообразить, что таких клеток будет ровно 64, по 8 в любом слое, параллельном грани. Допустим, что нам удалось выбрать восемь отмеченных клеток, никакие две из которых не лежат в одном слое, параллельном грани. Тогда сумма координат этих клеток должна быть равна утроенной сумме чисел от 0 до 7. Этого не может быть, поскольку это число не делится на 8. А.Вершик

М1662. Может ли куб натурального числа начинаться
с 1998? ОТВЕТ: да, может. Предположив противное, рассмотрим кубы, большие чем 10 3 n . Наименьшее из чисел y 3 , больших 1998 10 3 n , не меньше чем 1999 10 3 n . Обозначим через x 3 наибольший 3n из кубов, меньших чем 1998 10 ; очевидно, x 10 . Получили: Но

воположные сторо ны исходного че- / 3 тырехугольника + . ABCD до пересе- * чения в точках Р и Q (см. рисунок). Докажем сначала, что биссектриса PF угла Р перпендикулярна биссектрисе QE угла Q. Поскольку четырехугольник ABCD вписанный, внешний угол DCQ равен внутреннему углу в противоположной вершине А. Так как прямая QE биссектриса угла Q, то углы треугольника AQE соответственно равны углам треугольника CQG. Следовательно, CGQ = = AEQ. Но углы CGQ и PGE равны как вертикальные. Поэтому PEG = PGE и PEG равнобедренный. Следовательно, биссектриса угла Р является серединным перпендикуляром к отрезку EG, т.е. биссектриса PF угла Р перпендикулярна биссектрисе QE угла Q. Отсюда легко следует утверждение задачи, так как диагонали четырехугольника, образованного на биссектрисах четырехугольника ABCD, лежат на биссектрисах PF и QE. В случае, когда какие-либо две противоположные стороны четырехугольника ABCD параллельны, утверждение задачи следует из симметричности чертежа. С.Берлов

М1663. Биссектрисы вписанного четырехугольника образуют в пересечении выпуклый четырехугольник. Докажите, что диа2 гонали полученного четырехуголь ника перпендикулярны. ) , Продолжим проти-

b

x +1
2

g

3

- x 3 > 10 3 n .
2

3x + 3x + 1 < 4x

М1664. Существуют ли отличный от константы многочлен Р с целыми коэффициентами и натуральное n число k > 1 такие, что все числа вида P k попарно взаимно просты? ОТВЕТ: не существуют. Предположим противное.

ej

при x 10 . Так как

В некоторой точке k m имеем P k

x 3 < 2 10
то

3 n+ 3

,
2 n+ 2

того, что P x при x ; но можно рассуждать и . по-другому. Именно, пусть r степень многочлена. Тогда каждое свое

bg

ej
m

> 1. Это следует из

x <2
7 Квант ?3

2

23

10

2 n+ 2

< 2 10