Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/11.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:11 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:32 2012 Кодировка: Windows-1251

О

ВОЛНАХ,

ПОПЛАВКАХ,

ШТОРМЕ

И

ПРОЧЕМ

11
Резонанс

20 июля 1996 года в 9 часов утра на южном побережье Крыма в районе Алушты было спокойно полный штиль. Но о берег с завидной регулярностью бились волны. Период ударов не составляло труда измерить он оказался равным 5,0 с. 21 июля в тот же час и в том же месте попрежнему был штиль, но по-прежнему на море было волнение. Однако период ударов волн был уже другой 3,3 с. Надо определить, когда и на каком расстоянии от берега разыгрался шторм. Выберем в качестве рабочей модели следующую. В некоторой области Черного моря в некоторый неизвестный пока момент времени разразился шторм. Шторм это ветер, шум, брызги и, конечно, рождение волн. Волны разбегаются в разные стороны и через некоторое время достигают берега. Вот почему даже в штиль море может быть неспокойным. Теперь проведем расчет. Поместим начало координат в эпицентр шторма (рис.4). Тогда в точку с координатой х к моменту времени t придет группа волн, у которых групповая скорость равна x/t:
v
гр

Для вычисления расстояния до эпицентра и времени начала шторма удобно построить график зависимости частоты = 1/T приходящих волн от времени (рис.5,б). С его помощью, используя данные нашей задачи, легко получить

t = t

2 - 1

1

= t

T1 - T2

T2

=
47 ч,

= 24 ч

33 c , 5 c - 33 c ,

x=

t = 4 2 - 1 g
=

g

4 T1 - T2

T1T2

t 650 км .

=

1 2

vф =

1 2

g k

=

x t

.

Отсюда легко определить волновой вектор и период пришедших волн:
k= gt
2 2

Итак, шторм разразился в 650 км от берега утром 18 июля 1996 года. Глядя на эти цифры, невольно задумываешься: а реально ли, что волны проходят по морю такой громадный путь и не затухают за счет вязкого трения? Оказывается, вполне реально. Убедиться в этом можно, оценив по размерности время затухания волн за счет вязкости. Попробуйте сделать это самостоятельно, а мы возьмем из справочника готовую формулу, которая отличается от полученной по размерности лишь постоянным множителем:

t=

2 8 2

4x

,

T=

2 = vф k

4 x k . = g gt

Видно, что период пришедших волн уменьшается с течением времени (рис.5, а). Это легко объяснить. Длинные волны имеют большую скорость, поэтому приходят раньше. Но у них и период больший: 2 T= = . vф g
а T T "x T= gt

(здесь = 10 -3 кг м с коэффициент вязкости воды), и сделаем вычисления. Подсчет показывает, что уже для обычных волн, бороздящих наши пруды и реки ( ;1 м), время затухания достаточно велико порядка 3 часов, а для морских волн ( ;10 100 м) оно в сотни и тысячи раз больше. Поэтому для длинных волн затухание за счет вязкости совершенно несущественно. Оно определяет лишь эволюцию коротких капиллярных волн ( ;1 см).
б t = gt "x

bg

'Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустою забавою'. Воспользуемся и мы советом Козьмы Пруткова и кинем в воду, через равные промежутки времени, сорок камней. Сколько волн побежит при этом? Математик скажет задача некорректна. И будет прав. Но давайте подойдем к этому вопросу без излишней математической строгости и попробуем сначала получить ответ экспериментально. Правда, опыт лучше провести не на пруду, а в длинном, узком и прямом канале в этом случае движение волн одномерное, и наблюдать их можно гораздо дольше. Результат эксперимента таков: через некоторое время из образовавшегося на поверхности воды хаоса выделится движущийся волновой пакет, состоящий из двадцати волн. Итак, ответ у поставленного вопроса есть. Теперь попытаемся получить его теоретически. Для этого надо знать один простой секрет когда камень падает в воду, он порождает бесконечное количество гармонических волн. 'Как же так, скажете вы, он просто изменяет профиль поверхности h(x), делая его похожим на параболу'. Оказывается, это одно и то же. Основой такого утверждения является знаменитая теорема Фурье, согласно которой любая четная функция h(x) (для наших целей достаточно рассматривать лишь четные функции) может быть представлена как сумма бесконечного количества косинусов (разложена в ряд Фурье):

hx =

bg

T t t t

Человеку, который первый раз знакомится с теоремой Фурье, она кажется неправдоподобной косинус совершенно непохож на всем привычную параболу. Но все же она справедлива. Попробуйте построить на экране компьютера функцию, заданную рядом 1 h x = - cos x + 2 cos 2 x - 2 1 2 cos 3 x + K 3

z
0

a k cos kx dk .

bg b g

bg

Рис. 5
3*

t

t

t

на интервале 1 < x < 1. Складываем косинусы, а получаем... параболу!