Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/19.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:11 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:09:33 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: neutron

СУММЫ

КВАДРАТОВ

И

ЦЕЛЫЕ

ГАУССОВЫ

ЧИСЛА

19

yi

z

x yi z

c z = x + yi, обозначают z = x yi (рис.2). Геометрический смысл перехода от числа к сопряженному симметрия относительно оси абсцисс. Легко проверить тождества

Доказательство. Поскольку n a - bi n na nb = =2 i -2 2 2, a + bi a + bi a - bi a +b a +b

>

>

C>

C

C

u + v = u + v, u v = u v,

которые как раз и позволяют заменять в формулах все числа на Рис. 2 сопряженные. 2 2 Между прочим, z = x 2 + y = (x + iy)(x iy) = zz . Это позволяет очень изящно доказать теорему 5:

натуральное число n кратно числу a + bi только в тех случаях, когда числа na и nb кратны a2 + b2 . Поскольку числа a и b взаимно просты, это бывает только когда n 2 кратно a2 + b .
Упражнения 25. При каком условии на целые числа a и b частное (a + bi)/(1 + i) является целым гауссовым числом? 26. Изобразите на плоскости числа, кратные числу а) 1 + 3i; б) 1 3i. в) Какие целые гауссовы числа являются кратными и числа 1 + 3i, и числа 1 3i одновременно? 27. Докажите, что если целое вещественное число n кратно ненулевому целому гауссову числу a + bi, то n кратно числу ( a 2 + b2 )/НОД(a, b).

uv

2

= uv uv = uvuv = uu vv = u v .

>C

> C> C

2

2

Формула (1) не потребовалась! Точнее, формула (1) 2 2 2 это по сути и есть формула uv = u v .

Целые гауссовы числа
Определения
Комплексное число a + bi называют целым гауссовым, если a и b целые числа. Сумма, разность и произведение целых гауссовых чисел целые гауссовы числа, так что множество Z[i] целых гауссовых чисел является, как говорят алгебраисты, кольцом. Определение. Целое гауссово число u кратно целому гауссову числу v, если существует такое целое гауссово число w, что u = vw. Отметив на плоскости целые гауссовы числа, мы получим решетку (рис.3). Интересно, что числа, кратные данному числу z, тоже образуют решетку (рис.4). На рисунке 5 синим цветом выделены кратные числа 2 + i, а красным кратные числа 2 i. Давайте спросим себя, какие целые гауссовы числа являются кратными и числа 2 + i, и числа 2 i одновременно. Ответ очевиден: пересечение множеств 'синих' и 'красных' чисел состоит из чисел, кратных 5. Другими словами, наименьшее общее кратное чисел 2 + i и 2 i равно 5. 2 Произведение (a + bi)(a bi) = a2 + b комплексного числа z = a + bi и сопряженного с ним числа z = a bi является числом вещественным. Поэтому для любого ненулевого целого гауссова числа z существует кратное ему натуральное число zz = a2 + b 2 . Теорема 6. Если числа a и b взаимно просты, то наименьшим натуральным числом n, которое кратно 2 числу a + bi, является именно число a2 + b . Очевидно,

Делители единицы
1 = 1 1 = i - i = -1 -1 = -i i .
Других способов разложить 1 в произведение двух целых гауссовых чисел нет: Теорема 7. В Z[i] нет делителей единицы, кроме чисел 1, i, 1 и i. (Другими словами, целое гауссово число a + bi является делителем единицы в том и только том случае, когда a2 + b 2 = 1.) Доказательство. Если 1 = uv, где u, v Z[i], то 1 = =|u| |v|. Поскольку модуль ненулевого целого гауссова числа не меньше 1, имеем |u| = |v| = 1, откуда и следует утверждение теоремы.

> C > C> C > C

Ассоциированные числа
Числа u и v называют ассоциированными, если они кратны друг другу, т.е. u кратно v и v кратно u. Всякое целое гауссово число z можно представить в виде произведения z = 1 z = i -iz = -1 - z = - i iz , первый множитель которого делитель единицы, а второй ассоциирован с числом z. Столь же очевидно, что если целое гауссово число w кратно числу z, то делителями числа w являются также и числа z, iz, iz. Поэтому, рассматривая разложения на множители, можно 'не различать' ассоциированные числа.

> C > C> C > C> C

*

* * * * * *

* * * * * *

* * * * * *

* * * * * *

* * * * * *

*

iz

*
z

*

*

*

Рис. 3
5*

Рис. 4

Рис. 5