Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/kv0399probl.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:08 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:33:27 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

Задачи по математике и физике
Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 сентября 1999 года по адресу: 117296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант'. Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе 'Кому' напишите: 'Задачник 'Кванта' ?3 99' и номера задач, решения которых Вы посылаете, например 'М1681' или 'Ф1688'. В графе '... адрес отправителя' фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: 'Задачник 'Кванта', новая задача по физике' или 'Задачник 'Кванта', новая задача по математике'). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М1683, М1687 и М1688 предлагались на осеннем Турнире Городов 1998 года, а задача М1684 на Московской математической олимпиаде этого года . Задачи Ф1689 Ф1693 и Ф1696 предлагались на втором (очном) туре V Соросовской олимпиады по физике.

ЗАДАЧНИК ЗАДАЧНИК ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

'КВАНТА' 'КВАНТА'

23

Задачи М168 1 М169 0 , Ф168 8 Ф169 7
М1681. Квадрат целого числа оканчивается на ...21. М1682.
Может ли третья цифра справа быть четной? В.Сендеров Из какой-либо точки плоскости опускаются перпендикуляры на высоты треугольника (или на их продолжения). Докажите, что основания перпендикуляров являются вершинами треугольника, подобного исходному. Р.Кудинов бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки. А.Гришин

сторон треугольников АВС, BCD, CDA, DAB, имеют общую точку, а их центры лежат на одной окружности. И.Вайнштейн

М1686. Функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [0; 1] и удовлетворяют равенствам

и

М1683. Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две

z
1 0

z
1 0

f x dx =

bg
2

z
1 0

g x dx = 1

bg

f

b xg

+ g 2 x dx =

bg

2.

Докажите, что f(x) = g(x) на отрезке [0; 1]. В.Произволов

М1687. Будем называть размером прямоугольного па-

М1684*. Круг разделен радиусами на 2n равных секторов, из которых какие-то n синие, а остальные n красные. В синие сектора, начиная с некоторого, по ходу часовой стрелки последовательно вписаны все натуральные числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, против хода часовой стрелки тоже последовательно вписаны все числа от 1 до n. Докажите, что найдется полукруг, в сектора которого вписаны все числа от 1 до n. В.Произволов М1685. В окружность вписан четырехугольник ABCD.
Докажите, что окружности, проведенные через середины
6*

раллелепипеда сумму трех его измерений длины, ширины и высоты. Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместится больший по размеру прямоугольный параллелепипед? А.Шень

М1688*. Дана функция f(x) = x 2 + ax + b

где трехчлены x 2 + ax + b и x 2 + сх + d не имеют общих корней. Докажите, что два утверждения равносильны: 1) найдется числовой интервал, свободный от значений f(x); 2) f(x) представима в виде f(x) = f1 f2 K fn -1 fn x K , где каждая из функций fi x видов: ki x + m i , x -1 , x 2 .

e

je

x + cx + d ,

2

j

bg

есть функция одного из А.Белов

ee

c b g hjj


24

КВАНT 1999/?3

М1689. Арифметическая прогрессия из натуральных

чисел содержит не менее трех членов, их произведение 2 делитель некоторого числа n + 1. а) Докажите, что существует такая прогрессия с разностью 12. б) Докажите, что такой прогрессии с разностью 10 или 11 не существует. в)* Какое наибольшее число членов может содержать такая прогрессия с разностью 12? В.Сендеров

витками оснований динамометров, определите показания приборов. С.Варлберман

М1690. В каждой вершине выпуклого многогранника

сходятся три ребра. Одна грань многогранника красная, остальные синие. Известно, что любая синяя грань является многоугольником, около которого можно описать окружность. Докажите, что и красная грань является многоугольником, около которого можно описать окружность. В.Произволов

Ф1692. Поверхность планеты, имеющей такие же размеры, массу и состав атмосферы, как Земля, была полностью покрыта океаном с одинаковыми повсюду глубиной 230 м и температурой +10 њС. В результате внутренних процессов температура поднялась повсюду до +100 њС, однако глубина океана осталась прежней. Считая, что размеры твердой части планеты совершенно не изменились при нагревании, определите средний коэффициент объемного расширения воды в указанном диапазоне температур. С.Варламов Ф1693. Лампочка для фонаря рассчитана на напряжение 2,5 В, ток при этом составляет 0,2 А. В нашем распоряжении имеются мощный источник напряжением 6 В и реостат на 10 Ом (у реостата сделаны выводы от краев обмотки и от движка, который может контактировать с любым витком такой прибор часто называют потенциометром). Как присоединить лампочку к источнику, чтобы она горела нормально? Где должен находиться движок реостата? М.Учителев Ф1694. В компьютерной модели атома водорода все размеры и заряды частиц увеличили в N раз. Считая, что плотность 'вещества' частиц в модели сохранена, определите, во сколько раз изменится период обращения 'электрона' вокруг ядра. И еще: известно, что в атоме Резерфорда электрон излучает электромагнитные волны и, теряя энергию, должен упасть на ядро через малое время . Оцените время падения 'электрона' на ядро в увеличенной модели. А.Зильберман Ф1695. В схеме на рисунке заряжены. Напряжение во изменяют так, чтобы ток 1 в этой цепи оставался равным I0 . Какое количество теплоты выделяется в резисторе за время Т? А.Теплов
1 конденсаторы вначале не внешней цепи непрерывно

Ф1688. Автомобиль на прямой передаче (на четвертой скорости коробки передач) может на прямом шоссе развивать скорость от 50 км/ч до 140 км/ч. При скорости 70 км/ч расход бензина составляет 7 л на 100 км пробега; КПД двигателя не зависит от скорости. Сопротивление движению пропорционально квадрату скорости автомобиля. Емкость бензобака автомобиля 40 л, других емкостей для топлива в автомобиле нет. Два водителя (чтобы можно было ехать без перерывов) должны перегнать автомобиль на расстояние 2000 км; заправочные станции по пути расположены на расстояниях 200 км или 300 км друг от друга; перегоны разной длины строго чередуются. За какое минимальное время водители смогут проделать весь путь? Какое минимальное количество бензина можно потратить, если ехать помедленнее? Езда на пониженной передаче приводит к увеличению расхода бензина. С.Варламов Ф1689. По гладкому горизонтальному столу свободно скользит прямая однородная палочка длиной L. В данный момент скорость одного из концов палочки равна v и составляет угол с палочкой, а скорость другого конца по величине равна 2v. Найдите скорость центра палочки и ускорения ее концов. А.Палочкин Ф1690. Небольшое тело бросают параллельно поверхности Земли с высоты 1 км. Определите, где находится точка падения тела на Землю, если его скорость на 1% меньше первой космической скорости. Можно считать Землю идеальным шаром, на котором нет атмосферы. З.Рафаилов Ф1691. Динамометр состоит из подставки и прикрепленной к ней однородной пружинки втрое меньшей массы. Один крючок динамометра соединен с подставкой, другой со свободным концом пружинки. Два таких динамометра соединены 'последовательно' сцеплены двумя крючками, а внешние силы приложены к свободным крючкам. Приложим к этим крючкам противоположно направленные силы F и f динамометры поедут по гладкой горизонтальной плоскости, вытянувшись вдоль линии действия сил. Считая, что пружинки не касаются

+ !+

4

!+ +

Ф1696. Цепь из двух 1 Рис. 1 конденсаторов емкостью по 10 мкФ и двух резисторов сопротивлением C R по 1 кОм (рис.2) подсоединена к источнику пеБ A ременного напряжения 220 В, 50 Гц. Что покаC R жет вольтметр, включенный между точками А и Б? А если вместо вольтРис. 2 метра подключить амперметр какой ток он покажет? А если включить в цепь ваттметр, подсоединив высокоомную его обмотку (обмотку напряжения) непосредственно к источнику, а низкоомную (токовую) к точкам А и Б, что он покажет? З.Рафаилов


ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

25
8 10
2 n+ 2

Ф1697. Каждый из двух одинаковых трансформа~ торов имеет две многовитковые обмотки, в одной из которых витков вдвое больше, Рис.3 чем в другой. Трансформаторы соединены между собой так, как показано на рисунке 3 (никаких дополнительных подробностей нет!), и подключены к сети переменного напряжения 220 В. Что может показывать в этой схеме амперметр? Сердечники трансформаторов сделаны из материала с очень большой магнитной проницаемостью, потерь энергии в трансформаторах нет. Сопротивления резисторов по 1 кОм каждое. Р.Александров
)

Окончательно получим
> 10
3n

неравенство, неверное при любом n 3 . Замечание 1. Подобным же образом доказывается и общее утверждение: любая степень натурального числа может начинаться с любой наперед заданной комбинации цифр. Замечание 2. Фактически мы доказали существование числа х = 12abc такого, что x 3 = 1998... В действительности таких чисел даже два: 12596 3 = 3 = 1998471484736, а 12597 = 1998947500173. При этом 12596 наименьшее из всех пятизначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. В.Сендеров

Поправка. В условии задачи Ф1683, опубликованном в предыдущем номере журнала, должна быть задана высота вала H над поверхностью воды. Редакция приносит читателям свои извинения.

Решения задач М1661 М1665, Ф1673 Ф1682
кубе 8 Ч кубиков лельном лельном

М1663. Биссектрисы вписанного четырехугольника образуют в пересечении выпуклый четырехугольник. Докажите, что диа2 гонали полученного четырехуголь ника перпендикулярны. ) , Продолжим проти-

М1661. Можно ли отметить 64 единичных кубика в

8 Ч 8 так, чтобы среди любых 8 отмеченных некоторые два находились в одном слое, паралграни куба, и при этом в каждом слое, паралграни, было отмечено 8 кубиков?

ОТВЕТ: да. Можно считать, что центры кубиков расположены в точках (x, y, z), х, у, z Z, 0 x, y, z 7 . Отметим все клетки, центры которых имеют сумму координат, кратную восьми. Нетрудно сообразить, что таких клеток будет ровно 64, по 8 в любом слое, параллельном грани. Допустим, что нам удалось выбрать восемь отмеченных клеток, никакие две из которых не лежат в одном слое, параллельном грани. Тогда сумма координат этих клеток должна быть равна утроенной сумме чисел от 0 до 7. Этого не может быть, поскольку это число не делится на 8. А.Вершик

М1662. Может ли куб натурального числа начинаться
с 1998? ОТВЕТ: да, может. Предположив противное, рассмотрим кубы, большие чем 10 3 n . Наименьшее из чисел y 3 , больших 1998 10 3 n , не меньше чем 1999 10 3 n . Обозначим через x 3 наибольший 3n из кубов, меньших чем 1998 10 ; очевидно, x 10 . Получили: Но

воположные сторо ны исходного че- / 3 тырехугольника + . ABCD до пересе- * чения в точках Р и Q (см. рисунок). Докажем сначала, что биссектриса PF угла Р перпендикулярна биссектрисе QE угла Q. Поскольку четырехугольник ABCD вписанный, внешний угол DCQ равен внутреннему углу в противоположной вершине А. Так как прямая QE биссектриса угла Q, то углы треугольника AQE соответственно равны углам треугольника CQG. Следовательно, CGQ = = AEQ. Но углы CGQ и PGE равны как вертикальные. Поэтому PEG = PGE и PEG равнобедренный. Следовательно, биссектриса угла Р является серединным перпендикуляром к отрезку EG, т.е. биссектриса PF угла Р перпендикулярна биссектрисе QE угла Q. Отсюда легко следует утверждение задачи, так как диагонали четырехугольника, образованного на биссектрисах четырехугольника ABCD, лежат на биссектрисах PF и QE. В случае, когда какие-либо две противоположные стороны четырехугольника ABCD параллельны, утверждение задачи следует из симметричности чертежа. С.Берлов

b

x +1
2

g

3

- x 3 > 10 3 n .
2

3x + 3x + 1 < 4x

при x 10 . Так как

М1664. Существуют ли отличный от константы многочлен Р с целыми коэффициентами и натуральное n число k > 1 такие, что все числа вида P k попарно взаимно просты? ОТВЕТ: не существуют. Предположим противное.

ej

x 3 < 2 10
то
2 x <2 23

3 n+ 3

,
2 n+ 2

В некоторой точке k m имеем P k . по-другому.

того, что P x при x ; но можно рассуждать и

bg

ej
m

> 1. Это следует из

10

2 n+ 2

< 2 10

7 Квант ?3