Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/kv0399chernoutsan.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:08 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:38:20 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: поляризация света

ФИЗИЧЕСКИ ФАКУЛЬТАТИВ ФИЗИЧЕСКИЙЙ ФАКУЛЬТАТИВ

41

Осторожно: магнитное поле
А.ЧЕРНОУЦАН
ляется, как известно, мощным инструментом решения задач. Он позволяет не выяснять деталей процессов, происходящих при переходе системы из начального состояния в конечное, а непосредственно связывать параметры этих состояний. Закон позволяет также рассчитать работу, которую совершили внешние силы при изменении состояния. Однако неаккуратное применение закона сохранения энергии может привести к неправильным и даже парадоксальным результатам. Напомним известный пример. Работа внешних сил, затраченная на медленное увеличение расстояния между пластинами плоского конденсатора от d1 до d2 , равна изменению энергии конденсатора только в том случае, когда пластины отключены от источника:

нитную постоянную ч 0 , связанную с электрической постоянной 0 и скоростью света в вакууме с простым соотношением:

ч0 =

1 0 c
2

= 4 10

-7

Гн/м.

З

АКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ЯВ-

доксами' можно встретиться при использовании закона сохранения энергии в применении к магнитному полю. Для наглядности мы сравним поведение во внешнем поле двух простейших систем: плоского конденсатора и соленоида. При расчете энергии собственное поле этих объектов можно считать однородным, что позволит нам использовать формулы для объемной плотности энергии; внешнее поле тоже будем считать однородным. Однако для начала нам надо собрать вместе и обсудить некоторые формулы.

Эта постоянная играет в магнитных формулах такую же роль, как электрическая постоянная в электрических 1 . Магнитная индукция внутри соленоида длиной l с числом витков N, по которому течет ток силой I, равна

Bc = ч 0 I

N l

= ч 0i ,

где i ток, приходящийся на единицу длины соленоида (поверхностная плотность тока). Направление поля определяется по правилу буравчика: вращаем ручку по току, буравчик движется по полю. Объемная плотность энергии магнитного поля равна

w=

W V

=

Bc 2ч

2

.

0

Поле конденсатора и поле соленоида
Напряженность электрического поля плоского конденсатора выражается через поверхностную плотность заряда его пластин:
Eк =
0

Если поместить соленоид во внешнее магнитное поле B , направленное параллельно собственному полю, то внутри соленоида будет заключена энергия
W=

c

B + Bc 2ч
0

h

2

Sl ,

Aвн = W2 - W1 =

Q

2

2C2

-

Q

2

2C1

,

=

q 0S

,

где C1 = 0 S d1 (здесь S площадь каждой пластины, 0 электрическая постоянная), C2 = 0 S d2 ( C2 < C1 ). Если же попытаться рассчитать таким образом работу для конденсатора, подключенного к источнику тока, она получится отрицательной, что наверняка неправильно пластины в любом случае притягиваются друг к другу. Выход из положения известен надо учесть работу сторонних сил источника:

а энергия плоского конденсатора через объемную плотность энергии поля:

W=

0E 2

2 к

Sd = w V .

где S площадь сечения соленоида. Для того чтобы иметь возможность вычислить работу по повороту конденсатора и соленоида во внешнем поле, нам надо вспомнить о поведении во внешнем поле простейших объектов электрического диполя и витка с током.

Aвн + Eq = W2 - W1 ,
или

Таким же образом можно найти энергию в любом объеме, содержащем однородное электрическое поле. Например, если заряженный конденсатор поместить во внешнее однородное поле E , направленное противоположно собственному полю конденсатора, внутри конденсатора будет заключена энергия

Электрический диполь и виток с током
Электрическим диполем называется система из двух точечных зарядов +q и q, находящихся на расстоянии d друг от друга. Электрический диполь обладает дипольным моментом


Aвн + E C2 E - C1 E =
откуда
2

c

h

C2 E 2

2

-

C1E 2

2

,

W=

0 E - Eк 2

c

h

2

p = qd ,



Sd .

CE -2 , 2 2 где E электродвижущая сила источника. С аналогичными или даже более неожиданными ситуациями и 'параAвн =

C1 E

2

Формулы для магнитного поля выглядят достаточно просто и весьма похоже. Хотя в школьном учебнике эти формулы отсутствуют, их приводят во многих пособиях для классов и школ с углубленным изучением математики и физики. Магнитные формулы, записанные в единицах СИ, содержат маг-

где вектор d направлен от отрицательного заряда к положительному (рис.1). На электрический дипольв однородном электрическом поле E действует вращательный момент

M = qEd sin = pE sin ,
1 См., например, статью 'Эта загадочная магнитная сила' в этом номере журнала. (Прим. ред.)


42
+qE

КВАНT 1999/?3

E d

+q E p

щийся в однородном магнитном поле. Для простоты рассмотрим виток прямоугольной формы со сторонами а и b и будем поворачивать его относительно оси OO , проходящей через середины противоположных сторон и перпендикулярной магнитному полю B (рис.2). Момент сил Ампера, действующих на две стороны контура, которые параллельны оси вращения, равен

M = 2 IBa

b 2

sin = BIS sin ,


q

qE
Рис. 1


где угол между векторами p и E . Поскольку сумма сил, действующих на заряды диполя со стороны поля, равна нулю, вращательный момент имеет одинаковые значения для любой оси (пер пендикулярной p и E ). При этом у диполя есть только одно устойчивое положение равновесия, при котором дипольный момент параллелен напряженности внешнего поля (противоположное, антипараллельное, положение соответствует неустойчивому равновесию). Работу силы A при повороте диполя на малый угол можно выразить через вращательный момент:
A = M .

где угол между нормалью n к плоскости витка и полем B . Отметим, что нормаль надо проводить вполне определенным образом по движению буравчика, ручка которого поворачивается в плоскости витка в направлении протекания тока. Если для характеристики свойств витка ввести
O n a F
)

лярных молекул (т.е. обладающих собственным дипольным моментом), происходит за счет преимущественной ориентации этих дипольных моментов в направлении поля. Степень ориентации определяется соотношением между выигрышем в энергии, равным pE, и характерной энергией теплового движения, которая равна kT (здесь k постоянная Больцмана, Т температура). Совершенно так же происходит намагничивание парамагнетиков, молекулы которых обладают собственным магнитным моментом и стремятся сориентироваться по магнитному полю. Заметим, что полученные нами выражения годятся и для конденсатора во внешнем поле E (в этом случае дипольный момент равен p = qd, где q заряд пластин конденсатора), и для соленои да во внешнем поле B (в этом случае pm = NIS).

B

Поворачивание конденсатора и соленоида
Повернем конденсатор и соленоид на 180њ из положения устойчивого равновесия. Рассчитаем работу, которую совершили внешние силы в каждом случае, и сравним ее с соответствующим изменением энергии. Работа в обоих случаях положитель на. Для конденсатора в поле E она равна

b F
Рис. 2
)

I O p

B

m

магнитный момент pm , направленный вдоль указанной нормали и равный



Aвн = 2 pE = 2 qdE =
= 2 0 Eк SdE = 2 0 Eк E Sd ( Eк поле конденсатора), а для соле ноида в поле B

Тогда для работы поля по повороту диполя на угол из положения равновесия можно записать

pm = IS ,
то все свойства витка во внешнем магнитном поле окажутся формально идентичными свойствам электрического диполя во внешнем электрическом поле. Так, у витка есть одно устойчивое положение равновесия, при котором pm параллелен B , и работа внешних сил при медленном повороте витка из положения равновесия на угол равна
Aвн = pm B 1 - cos .


AE = - pE sin d = - pE 1 - cos .
0

z


b

g

Aвн = 2 pm B = 2 NISB =
=2

Bc ч
0

SlB = 2

Bc B ч
0

Sl

Эта работа отрицательна, а работа внешних сил при медленном повороте диполя из положения равновесия положительна:
Aвн = pE 1 - cos .

b

g

b

g

Видно, что потенциальная энергия диполя во внешнем поле равна

Более того, если чисто формально ввести потенциальную функцию (имеющую смысл потенциальной энергии) витка во внешнем поле:

( Bc поле соленоида). Однако с изменением энергии все не так просто. Самое важное различие между конденсатором и соленоидом состоит в том, что в положении устойчивого равновесия поле конденсатора Eк направлено против внешнего поля

Wп = - pE cos .
(Можно было начать с вывода формулы для энергии подумайте, как это сделать, и из нее получить выражение для работы.) Минимальная энергия (pE ) соответствует устойчивому положению равновесия. Очень похожими свойствами обладает виток с постоянным током, находя-

Wп = - pm B cos ,
то работа внешних сил будет равна Wп . Интересно отметить, что формальная аналогия между дипольным и магнитным моментами имеет важное значение для описания диэлектрических и магнитных свойств вещества. Поляризация диэлектрика, состоящего из по-

E , а поле соленоида Bc направлено вдоль внешнего поля B (рис.3). При E Eк Bc B





+q q
Рис. 3


ФИЗИЧЕСКИЙ

ФАКУЛЬТАТИВ

43
лить работу этого источника, если даже не известна форма токов, создающих внешнее поле? Ответ на этот вопрос дает очень важная для электродинамики теорема взаимности, которую мы сформулируем следующим образом. Рассмотрим два контура с токами I1 и I2 . При данном расположении контуров магнитный поток, создаваемый в первом контуре магнитным полем, которое создано током второго контура, равен 12 = = L12 I2 ; обратное соотношение имеет вид 21 = L21 I1 . Введенные коэффициенты, характеризующие влияние контуров друг на друга, называются коэффициентами взаимной индукции. Теорема взаимности утверждает, что эти два коэффициента равны друг другу: L12 = L21 . С помощью этой теоремы мы сможем узнать, как поворот нашего соленоида влияет на внешний контур, создающий поле B . Пусть ток в этом внешнем ~ контуре равен I . Поворот нашего соленоида приводит к изменению потока во внешнем контуре, вызванному изменением коэффициента взаимной индук~ ции: = L21 I . Источник в этом внешнем контуре совершит работу
~ ~~ ~ Aист = I = I L12 I = I = Aист .

повороте на 180њ изменение энергии электрического поля в конденсаторе положительно:

W =


0 E + E

c

к

Sd = 2 0 EEк Sd 2 и равно работе внешних сил. Напротив, изменение энергии магнитного поля в соленоиде отрицательно:
W =

0 E - E

c

2

h

2

Sd -

к

h

2

точник, поддерживающий постоянное значение тока I, совершает при повороте соленоида дополнительную работу против сторонних сил, возникающих вследствие явления электромагнитной индукции. При малом изменении магнитного потока работа источника равна

Aист = -E

d

инд

i

q =

t

It = I ,

а за все время поворота

c

B - Bc 2ч

h

2

Sl -

Aист = I Bc - B SN - Bc + B SN =
= -2 IBSN = -2 BBc ч
0

ec

h

c

hj



c

0

B + Bc 2ч
0

h

2

Sl .

Sl = -2

BBc ч
0

Sl

и равно работе внешних сил только по модулю. Как же объяснить такое расхождение?

Работа источника. Но это не все ...
Естественное объяснение, возникающее из аналогии с электростатикой, состоит в необходимости учесть работу источника. Продемонстрируем, как это сделать для расчета работы, которую необходимо совершить для поворота на 180њ конденсатора, соединенного с источником тока (рис.4). Поскольку полное поле внутри конденсатора до и
E E E
Рис. 4

Видно, что работа источника в точности равна по величине, но противоположна по знаку механической работе внешних сил при повороте соленоида. Этому есть простое объяснение. Дело в том, что полная работа сил, действующих на заряды соленоида со стороны постоянного магнитного поля B , равна нулю (сила Лоренца перпендикулярна скорости и работу не совершает). Магнитное поле совершает при повороте соленоида отрицательную механическую работу и точно такую же по величине положительную работу (в качестве сторонней силы) над зарядами замкнутого контура. Но как же быть с законом сохранения энергии? Если записать его в виде

Aвн + Aист = W ,
E

то получается, что левая часть равна нулю, а правая отлична от нуля и отрицательна. Чего же мы еще не учли?

после поворота равно E d , энергия поля вообще не изменяется, и закон сохранения энергии принимает вид

Откуда берется внешнее магнитное поле?
Разгадка кроется в следующем. Внеш нее поле B тоже создается какими-то токами. Можно, например, представить себе, что наш соленоид находится в центре соленоида значительно больших размеров. При повороте нашего соленоида на токи, создающие поле B , действует ЭДС индукции, и источник, поддерживающий постоянство этих токов, совершает дополнительную работу. В написанном выше законе сохранения энергии Aист должна включать в себя как работу источника в нашем поворачивающемся соленоиде, так и работу источника, поддерживающего постоянным внеш нее поле B . Но сразу же возникает резонный (и на первый взгляд безнадежный) вопрос: как можно вычис-

Значит, работа источника во внешнем контуре в точности равна работе источника в самом поворачивающемся соленоиде, которая отрицательна и в точности равна изменению энергии магнитного поля. Согласитесь, что 'спасение' закона сохранения энергии потребовало от нас изрядных усилий и привлечения довольно-таки 'тяжелой артиллерии'!

Aвн + Aист = 0 .
Поле, создаваемое зарядами конденсатора, до поворота равно E d + E, а после поворота составляет E d E; следовательно, заряд на пластине, подключенной к положительному полюсу источника, изменяется на q о т 0 E d + E до 0 E d - E . Работа источника при этом отрицательна и равна

b

g

b

g

Aист = Eq = -2 0 EE ,
а работа внешних сил положительна и равна

Aвн = 2 0 EE .
Теперь обратимся к соленоиду. Ис-