Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/63.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:07 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:19 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 8. Fmax = 80 мH . 9. h = 4 м. 11. V = 480 л. 12. = 120њ . 1. a = 4. h = 8. пр 11. Е 10. Fcp = 150 Н. Подставив z = - x - y , получим систему

Вариант 2
2 3 м с . 2. v = 440 см/с. 3. Fн = 2 Н. 50 м. 5. U = 250 Дж. 6. T = 3 К. 7. l = 27 см. = 30њ . 9. t = 40 с. 10. m 3 = 600 г. = 75 кВ/м. 12. I = 6 А.

Санкт-Петербургский государственный университет
МАТЕМАТИКА Вариант 1
1. 3 < a < 1. Указание. График функции f x = = x - 2 - 2 x + 1 (рис.6) состоит из трех прямолинейных участков. Для того чтобы данное уравнение имело ровно три решения, необходимо и досy таточно, чтобы прямая, заданная уравнением у = kx + +a, пересекала его правую и среднюю части в их внутренних точках. Ясно, что точка B(0;1) пересечения такой прямой с осью ординат находится между точками A 0, - 3 и x B 0, 1 .

bg

+ 2k , k Z. 3 4 Указание. Воспользуйтесь разложением на множители: 1 1 sin 2 x - cos 2 x - - sin x = 2 cos x - 1 2 sin x - 2 cos x - 1 . 2 2 1 2 - a + a + 6 S ctg . Пусть d разность арифмети4. d = 3 ческой прогрессии, ОА = x1 , ОВ = x2 , ОС = x 3 , OD = x 4 , AOB = , где О точка пересечения диагоналей. По тео2 2 2 2 реме косинусов a = x12 + x2 2x1 x2 cos , a + d = x 2 + 2 2 2 2 + x3 + 2x 2 x 3 cos , a + 2d = x3 + x 4 2x 3 x 4 cos , 2 2 2 a + 3 d = x 4 + x1 + 2x 4 x1 cos . 2 2 2 2 Отсюда получаем, что a + 3d a + 2d + a + d a =
k

bg F 1I R3U 2. G -1; J U S V . H 3K T2W 2 3. b -1g arcsin 4 F H

b

g

2 1 2 Замена t = cos x cos y приводит к уравнению t t + = 3 12 1 1 = 0, откуда t = или t = . Второй случай невозможен, по6 2 скольку тогда мы имели бы, что 12 cos x - y = cos x cos y + sin x sin y = + > 1 . 23 Таким образом, 1 5 cos x cos y = , cos x cos y + sin x sin y = , 6 6 или 2 1 sin x sin y = cos x cos y - sin x sin y = - . 3 2 3 5 4. x 1; U ; + . Указание. Следует рассмотреть три 2 2 случая, в зависимости от того, какое из указанных чисел является средним членом прогрессии. Решения, удовлетворяющие условиям, существуют лишь в том случае, когда средним членом является |х 1|. Осталось решить систему

R | | S | | T

cos x cos y cos x + y = - sin x sin y = 2 3 .

b

g

1 12

,

b

g

R | | S | | T LM I F N JK GH

I JK

R | | S | | T

Рис. 6

A(0;3)
5.
S S
BMC

+ k +



;+

=

r 2R - r

R2 | S |2 T

x -1 = 2 x -1 , x - 4 > 1.

b

g

. Положим АВ = а, AD = b, CM = x, в трапеb x. x = 2а. значит,

BMDA

b I K

gb

g

BM = y. Поскольку окружность радиуса R вписана цию ABMN, то b + y = a + (a x), откуда у = 2а Поэтому периметр треугольника BMC равен b + y + Таким образом, SBMC = a r . Далее S ABCD = 2 R a , SBMDA = a 2 R - r .

b

g

b

g

b

g

b

g

1. q =

. 2 2. Искомое множество является объединением части плоскости, заданной неравенством y max x , 1 , и нижней полови2 2 ны окружности x + y - 1 = 1. 3. -; - 1 U 0; log 4. a
15 2 .

1- 5

Вариант 3

= 2 cos x4 x1 + x3 x4 + x2 x
d 2a + 5

= 2S ctg . Так как ctg > 0, то острый угол, = . Остается 2 найти положительный корень уравнения 3 d + 2ad 2S ctg = 0. 5. = 2 arcsin ctg ctg . 1. a -; - 1 U 0; 4 . Указание. Условию удовлетворяют значения а, при которых прямая у = а пересекает график 2 функции y = 4 x x + 1 , x -1; 0 U 0; + ровно в одной точке. 1 2. -; . 4 1 5 3. x = + + arccos + k + l , 32 6 1 5 2 + - 2k , k,l Z. y = + m arccos + k - l , z = m 32 8 3

b

d dg

b

+ d 2a + d = 4 S ctg , или d 2a + 3 d =

b

g

3

gb +xx i
12

= 2cos AC BD , т.е.

gb

g

b

g

b

g LM N

b

4
3

3

5. AB

I UF JK GH =e

g

{

2

}

log 3 4; log

16
3

3

2a + c .

j

I JK

.

2

Санкт-Петербургский государственный технический университет
МАТЕМАТИКА Вариант 1
1. 2. 2. 25%. 3. 6. 4. 15 1 . 9. + . 10. 8. - 8 4 13. - + n , n Z. 4 16. 0; - 2 ; 2; 0 . 19. n = 6k + 1; n = 6k в виде n = 6k + q, где 1. 5. у = 0, х = 1. 6. 7. 7.
1 4

b

F GH

I JK

bg bg

Вариант 2

b

gb

g

20 .

11. 1.

12. -

.

LM 1 ; 3OP N2 Q

.

b

g

14. 3 а + ab.

15. 0,6(7).

b

g

nb

g b gs

17. -1; 1 . 18. 2 . + 3, k Z. Указание. Представляя n k Z, а q M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, име-

b

63