Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/55.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:07 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:28 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п

Заочный тур
Задание. Физический мир и виртуальная реальность В соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона, сферически-симметричное тело массой m создает гравитационный ньютонов потенциал m = -G , r где G гравитационная постоянная, r расстояние от тела (r > R, где R размер тела). Строение Вселенной в значительной степени определяется силами гравитационного взаимодействия, определяемыми ньютоновым потенциалом. Как была бы устроена Солнечная система, если бы гравитационное взаимодействие описывалось неньютоновым потенциалом вида mR n-1 = -G , rn где n любое? 1) Рассмотрите движение планеты. 2) Рассмотрите движение кометы (эллиптическую траекторию с большим эксцентриситетом). 3) Рассмотрите движение астероида (гиперболическую траекторию). Предлагаемая задача включает в себя известную задачу Кеплера о движении тела в поле, описываемом ньютоновым потенциалом. Известно, что в этом случае траекторией движения является одна из кривых второго порядка: эллипс, гипербола или парабола в зависимости от значения полной энергии Е. В частности, возможно движение по круговой орбите, при этом скорость тела связана с радиусом орбиты соотношением v = Gm r . Очевидно, что круговая орбита существует при любом значении n, а полная энергии системы определяется выражением
E= mv 2
2

n = 0,5

Очный тур
Задание. Задача Улама Известно, что в системе с большим числом степеней свободы движение отдельной частицы носит случайный (стохастический) характер. Примером является броуновское движение частицы. Однако оказывается, что случайные движения могут наблюдаться и в системе с малым числом степеней свободы. Такое движение происходит, в частности, под действием периодического возмущения. Пример движение частицы в сосуде с дрожащими стенками. Рассмотрим движение шарика между двумя вертикальными бесконечно тяжелыми стенками, одна из которых колеблется по гармоническому закону

n = 1,5

x = a sin t
с частотой и амплитудой а. В начальный момент времени (t = 0) расстояние между стенками равно L, скорость шарика v. Начальное направление движения и положение шарика произвольны. Характер движения шарика между стенками определяется величиной изменения фазы = tn от столкновения к столкновению, где tn момент n-го столкновения. Опишите характер движения, проанализировав изменение фазы n от столкновения к столкновению. Исследуйте зависимость энергии шарика от времени. Предположите L = 1 см, а = 0,1 см и а = 0,5 см. 1) Исследуйте движение в диапазо5 9 не v = 10 - 10 см/с при постоянной -1 7 частоте = 10 c . Опишите полученные результаты. 2) Исследуйте - 5 движение в диапазоне = 10 - 10 9 c 1 7 при постоянной скорости v = 10 см/с. Опишите полученные результаты. 3) Исследуйте возможную зависимость от начального положения шарика и направления движения. Традиционно считается, что движение одной частицы определено (детерминировано). Но в общем случае это не так. Если есть нелинейный гармонический осциллятор, то под действием вынуждающей периодической силы в зависимости от соотношения параметров в системе может наступать хаос. При a ? L области регулярного и стохастического движений определяются изменением фазы от столкновения к столкновению, т.е. величиной

Рис. 1

Случай n = 1 соответствует задаче Кеплера, поэтому интересно исследовать изменения траектории движения при отклонении величины n от единицы. При незначительном отклонении наблюдаются прецессирующие эллиптические орбиты. По мере увеличения n характеристики орбит меняются, в частности наблюдается резкое изменение удаления планеты со временем. Однако в случае n < 2 полная энергия движения отрицательна, и траектория движения финитна. Точка n = 2 критическая точка. При n > 2 значение Е положительно. Это означает, что круговые орбиты в области n > 2 оказы-

FG H

1-

2 n

IJ K

.

ваются неустойчивыми, и небольшое отклонение орбиты от круговой приводит к уходу тела от притягивающего центра на бесконечно большое расстояние. Наиболее полное решение задания заочного тура было представлено командой Протвинского лицея 1 в составе: В.Евдокимов, К.Саломатин, А.Казаков, Д.Алехин, А.Хныкин, Ю.Астахов, Д.Лабин (руководитель С.Астахов). Результаты расчетов, полученные этой командой для траекторий планет при n = 0,5 и n = 1,5, представлены на рисунке 1. Проведенное исследование позволяет сделать интересные выводы о возможном устройстве Солнечной системы, если бы гравитационное взаимодействие описывалось неньютоновым потенциалом. При n > 2 устойчивого движения планет вокруг Солнца не существовало бы планеты упали бы на Солнце или улетели на бесконечность. Даже при небольшом отклонении скорости от указанного значения расстояние до Солнца было бы резкой функцией времени. В результате поток лучистой энергии на поверхность планеты сильно изменялся бы во времени, что сделало бы жизнь нереальной.

=

n +1

- n = 2L vn ,

где vn скорость шарика в момент n-

55