Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:06 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:13 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 5

ОЛИМПИАДЫ

XXXIX Международная

математическая
олимпиада

С 10 по 21 июля 1998 года на Тайване прошла XXXIX Международная математическая олимпиада (ММО), собравшая 419 школьников из 76 стран мира. Подбор заданий XXXIX ММО оказался достаточно сложным: в первый день олимпиады 12, а во второй 10 школьников сумели набрать по 21 баллу, а максимальное число баллов 42 набрал лишь один участник Омид Амини из команды Ирана. Россию представляли одиннадцатиклассники Николай Дуров (Санкт-Петербург, школа 239), Евгений Черепанов (Рыбинск, школа 17), Ирина Анно (Москва, школа 57), Данил Шаповалов (Иваново, школа 33), Антон Розенберг (Санкт-Петербург, школа 419) и девятиклассник Владимир Дремов (Волгодонск, школа 24), показавшие на олимпиаде следующие результаты: 1 Н.Дуров В.Дремов Е.Черепанов И.Анно А.Розенберг Д.Шаповалов 7 5 2 6 7 4 2 7 7 7 7 7 7 3 7 7 2 3 2 2 4 7 7 7 5 7 7 5 7 0 4 7 3 0 6 4 7 7 0 0 0


39 33 29 28 26 20

золотая медаль золотая медаль серебряная медаль серебряная медаль серебряная медаль бронзовая медаль

Задача 1 (Великобритания). Найдите пары (а, b) натуральных чисел такие, что a2b + a + b делится на ab2 + b + 7. Задача 2 (Украина). Пусть I центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Обозначим через K, L, M точки, в которых эта окружность касается сторон ВС, СА, АВ соответственно. Прямая, проходящая через точку В параллельно прямой МK, пересекает прямые LM и LK в точках R и S соответственно. Докажите, что угол RIS острый. Задача 3 (Болгария). Рассмотрим все функции f: N N , удовлетворяющие условию
f t f s

На этот разрезультаты участников команды России были легко предсказуемы, так как у большинства из них оказались любимые и нелюбимые темы в школьном курсе математики. Поэтому за исключением Е.Черепанова, золотого медалиста предыдущей Международной олимпиады, наши школьники показали приблизительно те результаты, которых от них можно было ожидать. Следует поздравить Н.Дурова, в третий раз ставшего золотым медалистом олимпиады, и В.Дремова, продолжившего традицию 'золотых дебютов' наших девятиклассников на ММО. В неофициальном командном зачете места распределились следующим образом: 1. Иран 211 баллов (5з + 1с); 2. Болгария 195 баллов (3з + 3с) ; 3-4. Венгрия 186 баллов (4з + 3с); США 186 баллов (3з + 3с ); 5. Тайвань 184 балла (3з + 2с + 1б); 6. Россия 175 баллов (2з + 3с + 1б); 7. Индия 174 балла (3з + 3с); 8. Украина 166 баллов (1з + 3с + 2б); 9. Вьетнам 158 баллов (1з + 3с + 2б); 10. Югославия 156 баллов (5с); 11. Румыния 155 баллов (3з + 2б); 12. Ю.Корея 154 балла (2з + 2с + 2б); 13. Австралия 146 баллов (4с + 2б); 14. Япония 139 баллов (1з + 1с + 3б); 15. Чехия 135 баллов (3с + 3б); 16. ФРГ 129 баллов (3с + 2б); 17-18. Турция 122 балла (2с + 4б); Великобритания 122 балла (1с + 4б); 19. Белоруссия 118 баллов (1с + 4б); 20. Канада 113 баллов (1з + 1с + 2б).

e

2

b gj

= s f t

c bgh

2

для любых натуральных s и t. Найдите наименьшее возможное значение f(1998). Публикацию подготовил Д.Терешин

А вот результаты выступления команд бывших советских республик, не попавших впервуюдвадцатку: Армения 100 баллов (2с + 2б); Казахстан 81 балл (2б); Грузия 78 баллов (3б); Латвия 74 балла (1с + 3б); Эстония 63 балла (1с + 1б); Молдавия 45 баллов (1с + 1б; 2 участника); Азербайджан 41 балл (1б); Литва 40 баллов (1б).

Отметим успешное выступление второй год подряд Украины (золотая медаль досталась Павло Пилявскому) и стабильность выступлений на ММО России, занимающей по итогам выступлений в 9398 гг. 23 места по числу завоеванных золотых медалей (после Китая, пропустившего в этом году ММО). Задачи первого дня олимпиады включены в 'Задачник 'Кванта'. Предлагаем вашему вниманию задачи второго дня.

49