Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/47.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:06 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:12 2012 Кодировка: Windows-1251

ВАРИАНТЫ

19. При каких целых числах n число 5n - 1 sin является иррациональ6 ным? 20. В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник, сторона которого равна 2 2 . Найдите объем призмы, если радиус описанной около нее сферы равен 3 .

b

g

16. Решите систему уравнений

Вариант 2 (факультет экономики и менеджмента) 1. Упростите выражение

17. трапеции равна 1. Какое наименьшее значение может принимать сумма a + b + 2h, где а, b основания трапеции, а h ее высота? 18. Решите уравнение
sin 3 x cos 2 x = 1 .
2

Ry - x + 1 = 1, | S2y + x = 4. | T Площадь равнобедренной

x-

x + 2 x +1.

2. Разделите число 120 на две части в пропорции 12 : 3. 3. Упростите выражение sin - 2 cos . 2 - tg 4. Вычислите без помощи калькулятора и таблиц 2 - + log91 2 . log 23 5. Решите уравнение
2
2x

19. Найдите наибольшее значение параметра а, для которого функция f x = ax 2 + 2ах + 1 на отрезке [3; 0] удовлетворяет неравенству f x 1. 20. Найдите площадь поверхности шара, вписанного в конус, если длина высоты конуса равна 2, а угол между образующей конуса и его высотой равен 30њ. Публикацию подготовили Е.Подсыпанин, С.Преображенский, С.Тихомиров

bg

шение площадей треугольников АВС и A1 B1C1 . 6. Основанием пирамиды является трапеция, в которой боковые стороны и меньшее основание равны между собой, большее основание равно а и тупой угол трапеции равен . Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол . Определите объем пирамиды. 1 7 7. Выражение x + 7 представьте в x 1 виде полинома от а, где а = х + . x

bg

ФИЗИКА
Письменный экзамен Вариант 1 1. Два тела, связанные жесткой нитью, находятся в равновесии на клине (рис.1) даже при условии, что коэффициент трения ч между телом В и плоскостью

+4

x -1

= 5.

Физико-математический колледж при 'Курчатовском институте'
МАТЕМАТИКА
Письменный экзамен Вариант 1 1. Решите уравнение

A B
Рис. 1

6. Решите уравнение

lg x -

FG H

8 3

IJ K

= - lg x .

7. Найдите координаты середины отрезка, ограниченного точками A 1; - 2 и B -3; 4 . 8. Найдите сумму всех натуральных 6 чисел n, для которых выражение n -1 является целым числом. 9. Найдите область определения функции 2+x y= . x- x

b

g

b

g

b

x +4 3

g

1- x -1

-x=

= x + 1 3x - 1 + 3

b

g

x +1

+ 1.

10. Решите уравнение
x+4 +2=

x

x+4 -2 11. Решите уравнение cos x + sin 3 x = 0 .

.

2. В окружности единичного радиуса с центром О проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Из конца D одного из диаметров проведена хорда DM, образующая с CD угол , причем точка С лежит внутри угла АОМ. Пусть N точка пересечения хорды DM и диаметра АВ. При каком значении угла площадь треугольника ONM будет наибольшей? Чему равна эта наибольшая площадь? 3. При каких значениях неравенство
x + 4 y - 2 x + y - cos - sin + 5 0
2 2

12. Вычислите без помощи калькуля2 тора и таблиц arcsin cos . 3 13. Найдите наибольшее значение функции у = x 3 3 x 2 + 6 на отрезке [1; 3]. 14. Решите неравенство

FG H

IJ K

имеет решение и из него следует нера2 венство 1 > x - y - 3 x ? 4. В каких пределах меняется величина 3 arccos x + arccos y , если

b

arcsin x

g +b
2

arccos y

g

2

=

9

2

16

?

lg 5 x - 4 x

e

2

j

> 0.

15. Решите неравенство x < 0. 2 x+2

b

g

5. В треугольнике АВС даны радиусы описанной и вписанной окружностей, равные R и r соответственно. Пусть A1 , B1 , C1 точки пересечения биссектрис треугольника АВС с описанной окружностью. Найдите отно-

равен нулю. Систему помещают на тележку, которая начинает двигаться вправо с ускорением а. При каком минимальном значении ч оба тела останутся неподвижными относительно клина? Угол наклона клина , ускорение свободного падения g. 2. В цилиндре объемом V1 = 30 л находятся в равновесии воздух, вода и насыщенный водяной пар. После изотермического сжатия до объема V1 3 из цилиндра сливается содержащаяся в нем вода. Затем смесь пара и воздуха изотермически расширяется до объема 2V . Найдите полную работу, совер1 шенную внешними силами в этом цикле, если в процессе изотермического сжатия давление в цилиндре возросло от начального значения p1 = 3 атм до p2 = 5 атм. Объемом воды в цилиндре можно пренебречь, площадь под изотермой pV = const при изменении объема от V1 до V2 равна pV ln V2 V . 11 1 3. Длинные вертикальные проводящие рейки расположены в плоскости, перпендикулярной линиям однородно го магнитного поля с индукцией B . По рейкам, расстояние между которыми l, может скользить без трения проводник массой m (рис.2). Верхние концы реек замкнуты на резистор сопротивлением R, а нижние концы на конденсатор емкостью С. В началь-

c

h

47