Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/46.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:06 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:11 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: mare

а четвертая может скользить по ним. Квадрат расположен на горизонтальной поверхности и находится в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией 200 мТл. Какой ток надо пропустить по контуру, чтобы сдвинуть подвижную сторону, если ее масса 60 г, а коэффициент трения в контактах 0,1? Сторона квадрата 5 см. Публикацию подготовили Б.Писаревский, А.Черноуцан

Санкт-Петербургский государственный университет
МАТЕМАТИКА
Письменный экзамен Вариант 1 (факультеты математикомеханический, прикладной математики процессов управления; дневное отделение) 1. При каких значениях параметра а существует такое k, что уравнение

рых числа |х 1|, 3 х, 3х 5, расположенные в каком-либо порядке, образуют арифметическую прогрессию, разность которой больше 1. 5. Окружность радиуса R касается трех сторон параллелограмма ABCD и отрезка ВМ, где М точка на стороне CD, отличная от С и D. Найдите, в каком отношении отрезок BM делит площадь параллелограмма, если известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ВСМ, равен r. Вариант 3 (факультеты психологии и экономический; вечернее и заочное отделения) 1. Геометрическая прогрессия с отрицательной суммой состоит из четырех членов. Выбросив из нее второй член и сохранив порядок, мы получим возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель исходной геометрической прогрессии. 2. Изобразите на плоскости Оху множество всех тех точек, координаты которых удовлетворяют равенству

2. Сколько процентов от составляет его куб? 3. Известно, что многочлен +q имеет корень х = 2 и своего наименьшего значения Найдите его второй корень. 4. Вычислите без помощи тора и таблиц 2 1 - 2 cos 14 њ . sin 62њ 5. Напишите уравнения графика функции 2x + 4 y= 2 . x + 3x + 2

числа 0,5

x + рх + достигает при х = 2.
калькуля-

2

асимптот

7 . 6. Упростите выражение 9 7. Найдите область определения функции

1 log

3

y = 7x - 3 - 2x .
8. Вычислите 1 tg + 2arctg . 2 4

2

FG H

IJ K

x - 2 - 2 x + 1 = kx + a
имеет ровно три решения? 2. Решите неравенство . 3x - 1 x +1 3. Решите уравнение 1 sin 2 x - cos 2x = + sin x . 2 4. Площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна S. Длины его сторон АВ, ВС, CD и DA в указанном порядке образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите ее разность, если известно, что острый угол между диагоналями четырехугольника равен и АВ = а. 5. Найдите угол между гранями АВС и ABD треугольной пирамиды ABCD, если известно, что ABD = BAC = = , BAD = ABC = и АВ = CD. Вариант 2 (факультет менеджмента; дневное отделение) 1. При каких значениях параметра а уравнение log x +1 4 x - a = 2 имеет ровно одно решение? 2. Решите неравенство 7 - 3 x > 2 + 2x . 3. Решите систему 1 cos x cos y cos z = , 12 2 sin x sin y = , 3 x + y + z = .

9. Решите уравнение
log
4

x + 3 - 2x

2

2x + 6 - 4 x

2

y -y - y-x

2

2

= x + y - 2y .

2

2

ex j
2

+ 2 = 0.

1. x +1 4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 2 2 cos ax - x = 2 имеет не менее семи решений. 5. Окружность проходит через вершину С прямоугольника ABCD, касается стороны АВ, пересекает сторону CD в точке М и касается луча AD. Найдите сторону АВ, если известно, что AD = а, DM = c. Публикацию подготовили О.Иванов, Н.Нецветаев, Ю.Чурин

3. Решите неравенство x 2 x +1 log 3 3 - 16 3 + 16

e

j

10. Найдите наименьший положительный период функции x x y = sin + cos . 2 5 11. Найдите наибольшее целое решение неравенства 1 5x < . 0,4 x 12. Найдите наименьшее значение функции x x y=9 -3 . 13. Решите уравнение

tg x + 2ctg

c

h

Санкт-Петербургский государственный технический университет
МАТЕМАТИКА
Письменный экзамен
1

14. Найдите lg 24 , если известно, что lg 2 = а, а log2 3 = b. 15. Представьте в виде периодической десятичной дроби сумму периодических десятичных дробей 0,3(4) и 0,(3). 16. Решите систему уравнений

FG H

3 2

+ x = 1.

IJ K

КВАНT$ 1999/?2

Вариант 1 (радиофизический факультет) 1. Упростите выражение

A=

e

a-4

j

2

-

b2 - ag

2

.

4. Найдите все значения х, при кото-

1 На выполнение задания давалось 120 минут.

17. Найдите множество значений функции 1- x y= . 1+ x 18. В прямоугольном треугольнике с длиной гипотенузы равной 3, биссектриса, проведенная к катету, разбивает его в отношении 1 : 3. Найдите площадь треугольника.

R | S | T

x - y = 2 + xy, x + y = 4.
2 2

"$