Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/36.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:06 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:06 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п

дим искомую массу воздуха:
m= gH 4 r RT
3

3

225 кг,

где М = 29 г/моль молярная масса воздуха, Т = 290 К его температура. Можно отметить, что в стандартном баллоне объемом 40 литров под давлением 200 атмосфер при комнатной температуре содержится приблизительно 10 кг воздуха. Задача 4. Свая в виде двух соосных цилиндров забита в грунт дна водоема глубиной Н (рис.2). Какая сила действует на сваю со стороны воды?

0

5



D D



5
Рис. 2

тная плотность на поверхности. Для измерения константы в жидкость на нити, прикрепленной к динамометру, опускают цилиндрическое тело длиной L и сечением S. Когда тело перемещается по вертикали на Н, оставаясь целиком погруженным в жидкость, показания динамометра изменяются на F . Чему равна константа ? Воспользуемся законом Архимеда и найдем разность выталкивающих сил при перемещении тела по вертикали на Н. Очевидно, что если тело опускается, выталкивающая сила увеличивается, а показания динамометра, равные разности веса тела и силы Архимеда, уменьшаются. Пусть в начале верхняя грань цилиндра находится на глубине h1 , нижняя на глубине h1 + L, а в конце верхняя на глубине h1 + Н, нижняя на глубине h1 + Н + L. Так как плотность жидкости меняется по линейному закону, вес воды, вытесненной телом в начале, пропорционален площади трапеции, заштрихованной на рисунке 3:

чем во втором. Найдите высоту Н слоя жидкости, зашедшей в трубку в первом случае. Отношение внутреннего сечения трубки S1 к внешнему S2 равно 0,5. Сила тяжести трубки остается неизменной, поэтому и выталкивающая сила в обоих случаях одна и та же. В первом

S

L

S H

Рис. 4

Сечение верхнего цилиндра S1 , его высота h1 , сечение нижнего цилиндра S2 , высота его части, находящейся в воде, h2 . Силы давления воды на боковые поверхности сваи компенсируют друг друга. Выталкивающая сила, действующая на нижнюю часть верхнего цилиндра сваи сечением S1 S2 , равна g H - h2 S1 - S2 , где плотность воды. Сила, прижимающая сваю к грунту, действует на верхнее основание сваи сечением S1 и равна g H - h1 - h2 S1 . Результирующая сила равна

F1 = gSL

h1 + h1 + L 2

?D ?

D

.

случае (рис.4), по закону Архимеда, она равна gL1 S2 gHS1 , во втором gL2 S2 , где плотность воды. Приравняв эти силы, получим
H = L1 - L2

Аналогично, вес воды, вытесненной

?

D

S2 S1

= L

S2 S1

= 10 см.

()

?

D?

D

F = g h1 S1 + h2 S2 - gHS2 .
Как видно, структура ответа простая: от обычной выталкивающей силы, найденной по закону Архимеда (соответствующий объем сваи на рисунке заштрихован), отнимается сила давления воды на нижнее основание сваи, как бы находящееся на уровне дна водоема. В зависимости от соотношения между h1 , h2 , S1 , S2 , Н результирующая сила может быть как выталкивающей, так и прижимающей сваю ко дну водоема. В приведенных формулах отсутствует также атмосферное давление. Вопрос о том, проникает ли воздух через грунт и тем самым передает свое давление на нижнее основание сваи, забитой в грунт, мы оставляем на суд читателя. Задача 5. В стратифицированной жидкости плотность увеличивается с глубиной h по линейному закону (h) = (0)(1 + h) ,где (0) извес-

?

? D

D

Рис. 3



h

h+L

h

телом в конце, равен

F2 = gSL

h1 + H + h1 + H + L 2

?

D?

D

Приведем второй вариант решения с использованием закона Паскаля, хотя в данном примере он и более громоздкий. В первом случае сила тяжести трубки mg и сила атмосферного давления p0 на дно сечением S2 уравновешены силой давления воздуха, находящегося внутри трубки при давлении p1 , на внутреннюю поверхность дна S1 и силой давления воздуха и воды на поверхность боковых стенок пробирки площадью S2 S1 :

.

mg + p0 S2 =p1 S1 + p0 + gL1 S2 - S1 .
При этом имеет место очевидное равенство p1 = p0 + g L1 - H .

?

D?

D

При этом разность показаний динамометра составляет
F = F2 - F1 = gSL 0 H ,

откуда и находим константу :

>C
.

?

D

Во втором случае сила тяжести трубки уравновешена силой давления воды на дно сечением S2 :

=

F

gSL 0 H

Эту константу можно найти и из разности давлений на верхнее и нижнее основания цилиндра длиной L при его перемещении по вертикали на Н (убедитесь в этом самостоятельно). Задача 6. Трубка, запаянная с одного конца, опускается в жидкость сначала открытым концом вниз, а затем вверх и плавает, находясь в вертикальном положении. Длина погруженной в жидкость части трубки в первом случае на L = 5 см больше,

>C

mg = gL2 S2 .
Силы давления атмосферы на поверхность трубки в этом случае скомпенсированы. Из приведенных равенств находим искомую высоту Н. Задача 7. На дне лунки кубической формы размером 10 Ч 10 Ч 10 см лежит шар, диаметр которого немного меньше 10 см. В лунку наливают воду 3 плотностью = 1 г см до тех пор, пока шар не начинает плавать, касаясь дна лунки. После этого в лунку долили еще m = 250 г воды так, что лунка оказалась заполненной водой до

КВАНT 1999/?1

!$