Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/35.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:05 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:05 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: space sail

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

Паскаля и Архимеда
А.ШЕРОНОВ
О ЗАКОНУ ПАСКАЛЯ, ДАВление в окрестности некоторой точки, находящейся в жидкости или газе, передается во все стороны без изменений. В соответствии с законом Архимеда, на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости или газа, вытесненного этим телом. В поле тяжести в жидкостях или газах давление в точках, отличающихся по высоте на h, изменяется на gh , где плотность жидкости или газа, g ускорение свободного падения. Рассмотрим теперь некоторые характерные примеры использования законов Паскаля и Архимеда при решении задач. Задача 1. Атмосфера Венеры состоит в основном из углекислого газа ( CO 2 ), температура которого вблизи поверхности планеты Т = 800 К, а плотность = 6,6 г/л. Оцените запасы CO 2 на Венере, считая, что толщина атмосферы много меньше радиуса планеты r = 6300 км. Какой толщины была бы атмосфера Венеры, если бы она была равноплотной с давлением и температурой газа, равными их значениям у поверхности планеты? Ускорение свободного па2 дения на Венере g = 8,2 м с , универсальная газовая постоянная R = = 8,31 Дж моль К , молярная масса углекислого газа М = 44 г/моль. По уравнению состояния идеального газа, давление у поверхности Венеры равно р = RT . Это же давление равно весу атмосферы, деленному на площадь поверхности планеты: p =

Законы

выражение с уравнением состояния, находим толщину равноплотной атмосферы: RT 2 104 м . h= g Задача 2. Мыльный пузырь надувают азотом. При какой величине диаметра пузыря он начнет всплывать в атмосферном воздухе той же температуры? Поверхностное натяж ение мыльного раствора = = 45 мН/м, молярная масса воздуха в = 29 г/моль, азота a = = 28 г/моль, атмосферное давление p0 = 10 5 Па, массой пленки пренебречь. Азот внутри мыльного пузыря находится под избыточным, по сравнению с атмосферным, давлением p = = 8 d , где d диаметр пузыря. Этот результат проще всего получить, если мысленно разрезать пузырь на две равные половинки плоскостью, проходящей через его центр, и рассмотреть условие равновесия этих половинок. Если избыточное давление в пузыре равно p , то половинки отрываются 2 друг от друга с силой pd 4 . С другой стороны, они притягиваются друг к другу силами поверхностного натяжения мыльной пленки, действующими на длине окружности d и равными 2 d (коэффициент '2' учитывает наличие двух поверхностей у пленки). Сравнение этих двух сил и дает величину избыточного давления под пленкой: p = 8 d . Пузырь всплывет при условии, что выталкивающая сила, равная весу вытесненного пузырем воздуха при атмосферном давлении p0 , больше веса азота, находящегося внутри пузыря под давлением p0 + p . По уравнению состояния газа,

Задача 3. Батискаф представляет собой шар радиусом r = 2 м. При испытаниях в море в нижней части батискафа образовалась течь, и он затонул, а в его верхней части образовалась воздушная прослойка в виде шарового сегмента толщиной h = 1 м. Чему равна глубина моря Н, на которой затонул батискаф? Какая масса воздуха понадобится для того, чтобы вытеснить из батискафа всю воду? Начальное (атмосферное) давление воздуха в батискафе равно давлению, которое создает слой воды толщиной H0 = 10 м. Указание: объем шарового сегмента толщиной h равен V = 2 = h (3r - h) 3 . Свободная поверхность воды внутри батискафа горизонтальна. Давление вблизи нее, равное давлению воздуха в батискафе, меньше давления в нижней части батискафа (точка А на рисунке 1) на величину g 2 r - h , где 3 3 = 10 кг м плотность воды. В свою очередь, давление в точке А (дно

b

g

0 D

)
Рис. 1

b

g

водоема) складывается из атмосферного давления и давления слоя воды толщиной Н. Чтобы найти глубину водоема, необходимо для воздуха, находящегося внутри батискафа (его масса по условию не изменилась), записать закон Бойля Мариотта:

g H0 + H - 2 r - h V =
= gH0

c

b

gh

4 3

r .

3

По условию, h = r/2, поэтому окончательно находим

= mg 4 r . Отсюда находим массу углекислого газа: 4 r 2 RT 19 6 10 кг. m= g В равноплотной атмосфере толщиной h давление у поверхности (на глубине h) равно gh . Сравнивая это

e

2

j

H=

27 5

H0 +

3 2

r = 57 м.

в p0 d

3

6 RT 6 RT откуда находим 8 a 10 d p0 в - a





a

c

p0 + p d

h

3

,

c

h

-4

м.

Чтобы найти массу воздуха, необходимую для вытеснения из батискафа воды, учтем, что в конце, когда воздух заполняет весь объем батискафа, его давление превышает атмосферное на gH . Из уравнения состояния нахо-

!#