Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/26.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:05 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:40 2012 Кодировка: Windows-1251

Палочка

продолжает
падать ...
А.ЧЕРНОУЦАН
номеров 'Кванта' (?4 за 1998 г.) в разделе 'Физический факультатив' была напечатана заметка 'Куда проскользнет палочка?'. В ней рассматривалась задача о тонкой палочке, падающей из вертикального положения на горизонтальную плоскость. А именно, обсуждался вопрос, куда проскользнет нижний конец палочки: в сторону падения или в противоположную сторону? Эта задача заинтересовала меня довольно давно, более десяти лет назад, когда я решал со своими студентами олимпиадные задачи. Задача выглядела новой и интересной, при этом интуитивно чувствовалось, что ответ должен зависеть от коэффициента трения. Действительно, при очень слабом трении проскальзывание должно начаться почти сразу, причем в сторону, противоположную падению (как на гладкой плоскости). При сильном трении палочка к моменту проскальзывания успевает приобрести горизонтальный импульс и может 'потащить' нижний конец в сторону падения. К радости моей и студентов выяснилось, что задача эта решается точно, а полученное решение полностью подтвердило все предположения. 'Критический' коэффициент трения, при котором меняется направление проскальзывания, оказался равным ч = = 15 10 128 0,37. Обнаружились и другие, достаточно неожиданные, свойства падающей палочки. Например, что при любом сколь угодно большом коэффициенте трения палочка начнет обязательно проскальзывать, причем при угле отклонения от вертикали, меньшем arccos 1 3 70,5њ. Обо всем этом и рассказывалось в упомянутой статье. Однако возникли новые обстоятельства, которые заставили меня взяться за вторую статью о падающей палочке. Во-первых, пришел из США очередной номер журнала-побратима 'Кванта' американского 'Квантума' (март/апОДНОМ ИЗ ПРЕДЫДУЩИХ

том случае, если на конце стержня закреплен не шар конечного радиуса, а материальная точка, но для маленького шара эта неточность кажется несу-

N

R

bg

рель 1998 г.). Большая часть журнала состояла, как обычно, из переведенных на английский язык статей из 'Кванта', но были там и новые статьи. Среди них статья, написанная американским физиком-теоретиком Лифом Тернером и его ученицей Джейн Пратт и посвященная... падающей палочке! (Недаром говорят, что физика не знает границ.) Оказывается, некоторое время назад они придумали задачу о палочке, решили ее и сразу же написали об этом в 'Квантум'. Правда, во главу угла авторы поставили вопрос не о направлении проскальзывания (на этот вопрос они тоже ответили), а о возможности отрыва от пола нижнего конца палочки, и очень красивым способом доказали, что конец палочки будет скользить без отрыва до самого ее падения. Мне так понравились их рассуждения, что захотелось рассказать (с некоторыми упрощениями) об этом нашим читателям. Тем более, что сам я даже не брался за рассмотрение движения после начала скольжения, так как считал его очень сложным (в частности, потому, что механическая энергия больше не сохраняется). Во-вторых, просматривая мой любимый 'Задачник Буховцева' ('Сборник задач по элементарной физике', авторы Б.Б.Буховцев, В.Д.Кривченков, Г.Я.Мякишев, И.М.Сараева; М.: Наука, 1987), я натолкнулся на давно забытую задачу: 196. На конце легкого стержня, поставленного вертикально на пол, закреплен массивный шар. Стержень начинает падать без начальной скорости. При каком значении угла между стержнем и вертикалью конец стержня перестанет давить на пол? При каком значении коэффициента трения стержень не проскользнет до этого момента? Решение этой задачи опирается на интуитивное предположение, что пол ная сила реакции пола R направлена вдоль стержня (рис.1). Правда, это утверждение является точным только в

Fтр
Рис. 1

щественной. Движение шара описывается уравнениями 2 mv , mg cos - R = l 2 mv = mgl 1 - cos , 2 где m масса шара, v его линейная скорость, l длина стержня. Если положить R = 0, то получим cos 1 = = 2/3. Чтобы стержень до этого момента не начал проскальзывать, при < 1 должно выполняться неравенство Fтр < чN . Иными словами, проскальзывания не будет, если ч > > tg arccos 2 3 = 5 2 . Получается, что судьба падающего стержня существенно зависит от распределения массы вдоль его длины. Однородная палочка обязательно начнет проскальзывать, но никогда не оторвется от пола, а невесомый стержень с точечной массой на конце от пола отрывается. Чтобы разобраться подробнее, запишем уравнения динамики для тонкого падающего стержня с произвольным распределением массы вдоль его длины и изучим вопрос о начале проскальзывания. Следующим пунктом нашей программы будет изучение падения такой 'обобщенной' палочки после начала скольжения (следуя идеям Лифа и Джейн). С точки зрения динамики, свойства такого линейного объекта полностью определяются его массой m, расстоянием d от нижнего конца до центра масс и моментом инерции I0 относительно центра масс. Однако можно вместо этих параметров ввести один безразI0 мерный параметр: = 2 , который md будет полностью определять свойства нашего стержня. Момент инерции стержня относительно точки касания равен

b

g

d

b gi

КВАНT 1999/?2

26