Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/02/17.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:05 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:52 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: mdi

стандартном количестве потребляемой воды температура воды в баке составляет +60 њС при температуре окружающего воздуха +20 њС. Какая температура установится в баке при увеличении расхода воды вдвое? Теплоотдача в окружающую среду пропорциональна разности температур. А.Зильберман

Ф1685. Оцените, на какой высоте над Землей находится центр тяжести столба воздуха, нависающего над стадионом 'Лужники'. Когда он расположен выше летом или зимой? При расчете можно считать, что температура воздуха на любой высоте равна температуре земной поверхности. А.Чувиков
нили последовательно, при этом двадцать из них оказались подключены с противоположной к остальным полярностью. Концы получившейся цепочки соединили, получив замкнутое кольцо. Параллельно одной из батареек подключили вольтметр (его сопротивление во много раз больше внутреннего сопротивления батарейки), и он показал напряжение 1,6 В. Что покажет вольтметр, если его подключить к какой-нибудь другой батарейке? М.Учителев

лизуется на многоугольни- O ке, который на каждой сто- роне накрывающего шестиугольника имеет по крайней мере одну вершину. Таким многоугольником будет четырехугольник * ABCD (рис.2), который во всех разновидностях накрывающих шестиугольников имеет одну и ту же площадь 2 - 1. В.Тиморин

+ ,

)

N
Рис.2

Ф1686. Сто батареек с одинаковыми параметрами соеди-

ности 1 , 2 , 3 , ... так, что каждая окружность n +1 касается ветвей параболы и внешним образом окружности n . Найдите радиус окружности 1998 , если известно, что диаметр окружности 1 равен 1 и она касается параболы в ее вершине. Ответ: r1998 = 1997,5. Обозначим радиус n-й окружности через rn . Тогда уравнение (n + 1)-й окружности имеет вид

М1652.Внутри параболы у = x2 расположены окруж-

x2 + y - 2r1 + 2r2 + K + 2rn + rn

db

+1

hi

2

= rn+1 .
2

2

Ф1687. Точечный источник света двигается с постоянной скоростью v0 по прямой, составляющей небольшой угол с главной оптической осью собирающей линзы. Траектория источника пересекается с упомянутой осью на двойном фокусном расстоянии от линзы. Найдите минимальную скорость изображения в линзе относительно движущегося источника. А.Повторов

Поскольку эта окружность касается параболы у = x , уравнение

y + y - 2 Sn + rn
где

dc

+1

hi

2

2 = rn +1 ,

Sn = r + r2 + K + rn , 1
имеет только один корень. Раскрыв скобки, получаем уравнение

Решения задач М1651 М1660, Ф1668 Ф1672
можную площадь выпуклой фигуры, все проекции которой на оси Ох, Оу и прямую х = у суть отрезки единичной длины. Ответ: а)

y2 - 4 Sn + 2rn
4 4 Sn + 4 Sn rn
rn
+1

c

+1

2 - 1 y + 4 Sn + 4 Sn rn

h
e

Приравняв его дискриминант

М1651. Найдите а) наименьшую, б) наибольшую воз-

e

2

+1

j = c2

rn

+1

4 Sn + 2rn +1 - 1 2 - 1 8 Sn нулю, находим (ибо

h

c

+1

= 0.

h

2

1 2 ) величину rn

+1

=

8 Sn + 1 2 .

2 2 -1 . 2 Для обоих случаев а) и б) фигура F, о которой идет речь в задаче, заключается внутри шестиугольника, являющегося пересечением трех полос (шириной 1 каждая) (рис.1). Назовем такой шестиугольник накрывающим. В случае б) фигура F совпадает с O накрывающим шестиугольником, достигая наиболь шей площади тогда, когда накрывающий шестиуголь ник симметричен относительно обеих диагоналей квадрата. Эта наибольшая 2 2 -1 площадь равна , 2 как показывают элементарные вычисления. N Минимальная площадь фигуры F (случай а)) реаРис.1
2 - 1; б)
5 Квант ?2

По условию задачи, r1 = 1 2 . Легко найти r2 = 3/2, r3 = = 5/2. Возникает гипотеза, что 1 rn+1 = n + . 2 1 Ее легко доказать по индукции: если rn = n при 2 некотором натуральном n, то

j

8 rn
+1

=

F GH

1 1 +K + n - 2 2 2

FG H

IJ IJ KK

+1 =

= 1 + 3 + K + 2n - 1 +

b

1 = n+ . 2 2 М.Евдокимов

g

1

М1653. На столе лежат 5 часов со стрелками. Разрешается любые из них перевести вперед. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовем временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?
%