Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/60.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:05 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п

где вспомогательный угол; поскольку
5 cos b + sin b =

26 sin b + ,

b

g

остальных значениях а уравнение имеет бесконечно много решений (докажите это).
41 + 7 7 ; . 4 2 37 - 1 + 2n , n U Z. k , k U Z; - arcsin 6 (17; 248). Указание. Выполните замену р = x + 8 . Пусть K L = l. В зависимости от положения точек K и возможны случаи

где = arcsin

5 26

, получаем уравнение

27 + 2 26 sin b + sin x + = a .

b

Поскольку

26 - 1 27 + 2 26 sin

ем, что при любом |a| 26 + 1 найдется b, при котором уравнение ( & ) имеет корни, а при |a| 26 - 1 это уравнение имеет корни при всех b. Вариант 8 1. 1. 2. +
+ n 3 ;+ 2 5 . 2

gb g bb + g 26

(& )

1. x 2. 3. 4. L

F 1 ; 3I 7 LM GH 4 JK M N

Вариант 11

I JJ K

+ 1 , получа-

а) l = 10 , если K P R , L Q S ; б) l = в) l г) l

n 1 arctg 6 + 3. , , n U Z. 3 2 3 3 4. 1000 л. 5. 2; 19 9 7 3; 2 + 3 . 6. 319. Указание. Воспользуйтесь подобием треугольников PMS и RQM. 7. 3; 2 , -2; - 3 , 3 + 10 ; - 3 + 10 , 3 - 10 ; - 3 - 10 . 8. а = 0, а = 1. Указание. Уравнение преобразуется к виду

b

ge

j

b gb

ge

je g

j

x - 2a +

1 x - 2a

+ x -1

b

2

= 2,

23 7. 426 р. и 142 р. Решение. Обозначим через x, y, z количества акций вида А в начале дня у первого, второго и третьего брокера соответственно, а через р и q цены на акции видов А и Б. Тогда из условия задачи следуют уравнения

5. c 3 - 2 3 ; - 6 + 2 15 .

F GG H F GG H e

346 , если K P R , L Q S ; 634 5 5 ; + , если K P R , L Q S ; ; + , если K P R , L Q S .

8194

I JJ K

I JJ K

j

6.

a

r - a 3.

2

2

откуда x - 2a = 1 , х = 1.

1.

F GH

1 3

;3 .

6 превосходит 2, а правая не меньше, чем 2. Поэтому sin x + = 0. + 3cos x = 2, cos 2x + 6 5. 31 6 .

3. 3. 4.

OP Q

Вариант 9 2. 2.
+ 2n , n U Z. Указание. Левая часть уравнения не

R | | S | | T

px + q 11 - x = 4402 , py + pz + = 4402 , = 4402 ,

bg q b21 - y g q b29 - z g
gb

Rb | |b S | |b T

p - q x + 11q = 4402, p - q y + 21q = 4402 , p - q z + 29 q = 4402 .

g g g

Вычитая третье уравнение из первого и второго, получаем

F GH

I JK

b

p - q x - z = 18 q , p - q y - z = 8 q .

g

b

gb

g

(& )

6. 15k - 6 k; 3k - 1 , k UZ . Указание. Из условия следует, что 3х = y + 1 5 y - 1 . Поэтому либо у + 1, либо 5y 1 = = 5 y + 1 - 6 делится на 3. Отсюда следует, что у = 3k 1, k U Z.

e

2

b

g

b

gb

j

Поскольку по условию p > После деления уравнений в x

g

КВАНT$ 1999/?1

1. -3; 1 . 2. АВ = АС = 2 10 . 3. 3 - 2 . 4. а) И; б) Р. Указание. а) Выпишите последовательность букв, удовлетворяющую указанному правилу, и подсчитайте, какая из них чаще других встречается в периоде. б) Пусть а и b цифры, с помощью которых записывается порядковый номер ab этой буквы. Цикл состоит из одной буквы, если и только если 2(а + b) = 10a + b , т.е. b = 8a, откуда а = 1, b = 8. 5. 0. Указание. Левая часть неравенства не меньше двух. Правая не больше двух, причем равенство достигается лишь при х = 0. 6. (1; 5). Указание. Система sin x + 6 = 0, sin x = 0 имеет единственное решение х = 6. Поэтому мы должны найти такие а, при которых уравнение не имеет других решений. 2 Разделив уравнение на sin x и выполнив замену t = sin x + 6 = , получим sin x 2 t - a -1 t + a -1 = 0. (& )

g

Вариант 10

q > 0, то x z > 0 и y z > 0. ( & ) имеем -z 9 =. 4 y-z Используя целочисленность переменных, получаем x = z + +9n, y = z + 4n, где n U N. Так как 11 > x = z + 9n > z > > 0, то z = 1, n = 1. Поэтому х = 10, у = 5. Обращаясь к исходной системе, находим р = 426, q = 142. Вариант 12

b

g

2 17 + 117 7 ; 8 . 3. - 4 ; - 3 7 9 17 2n + 1 , n = 1, 0, 1, 2; - + k , k = 1, 2, 3, 4. 4. 8 4 10 2b + l 5. . Указание. Пусть ВО биссектриса угла В в c треугольнике ABL, а ABO = LBO = . Тогда 1 1 AB BL sin 2 = S ABL = S ABO + SLBO = AB BO sin + 2 2 1 1 AB + BL BO sin , + BL BO sin = 2 2

1. -17 5 ; 11 3 . 2. tg

b

b

g

g

226

.

b

g

b

g

откуда

AB BL AB + BL

=

BO 2cos

.

b

gb

g

Аналогично, из треугольника MBN имеем

Уравнение (& ) не имеет корней при 1 < a < 5, при этом исходное уравнение имеет единственное решение х = 6. При

MB BN MB + BN

=

BO 2cos

,

$