Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/51.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:58 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: молодые звезды

ВАРИАНТЫ

Rcos10x - 2 sin 5x 3 4 | | 27 | - 32 + , | 2 | S | 2- 3 + 2+ 3 +2 + |e j e j | |+141log bcos10xg + 6 cos 5x b2t + 1g | T
t t +2 4t 4t 2

5. Найдите все решения системы

3. Решите уравнение

5+

1
2

sin 3 x

15 ,

.

Вариант 7 (факультет почвоведения) 1. Решите уравнение
x +1 -

4. Из цистерны в бассейн сначала перелили 50 % имеющейся в цистерне воды, затем еще 100 л, затем еще 5 % от остатка. При этом количество воды в бассейне возросло на 31 %. Сколько воды было в цистерне, если в бассейне первоначально было 2000 л воды? 5. Решите неравенство 1 3 +. log 1 x - 2 > 2 log 1 x - 2
3

bg

= 7ctg 3 x .

bg

сумма x + y является нечетным числом. Вариант 10 (филологический факультет) 1. Решите неравенство

3

3

b

g

3

b

g

2. Найдите cos , если известно, что 2 3 tg = и что < < 2 . Установите 4 без помощи таблиц и калькулятора, 2 или . какое из чисел больше: cos 2 7 3. Решите неравенство 1 2 . x +1 -1 x+1 -2 4. Решите систему уравнений



4x - 3 = 1 .

6. Четырехугольник PQRS вписан в окружность. Диагонали PR и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что PS = 13, QM = 10, QR = 26. Найдите площадь четырехугольника PQRS. 7. Решите систему уравнений x 1 + y = y + 7,

8. При каких значениях a уравнение

Rb | S |x T

g

2

y - xy = 6.
2

2

x - 4 ax + 4 a + 1 x - 2a

2

5. На ребрах AA1 и CC1 куба ABCDA B1C1 D1 отмечены соответ1 ственно точки E и F такие, что AE = = 2 A1 E , CF = 2C1 F . Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношение объема части, содержащей точку B1 , к объему всего куба. 6. Определите а) при каких значениях a существует такое число b, что уравнение
5 cos x + sin x + cos x - b = a

Ry | S2 | T

+ x - 2x - 1 = 0

2

x

= 3 y,

имеет хотя бы одно решение? Вариант 9 (географический факультет) 1. Решите неравенство

log 3 y + log y 3 = 3 x.

0. 1+ x 2. Длина стороны BC треугольника ABC равна 12. Около треугольника описана окружность радиусом 10. Найдите длины сторон AB и AC треугольника, если известно, что радиус OA окружности делит сторону BC на два равных отрезка. 3. Решите уравнение log 5 -2 x = 2. log 5 x + 1 4. А, И, Б сидели на трубе. К ним стали по очереди подсаживаться другие буквы так, что порядковый номер очередной буквы в русском алфавите равнялся сумме цифр порядковых номеров двух предыдущих букв. Оказалось, что начиная с некоторого момента буквы стали циклически повторяться. а) Какая буква (из числа циклически повторяющихся) встречается наиболее часто? б) Может ли циклически повторяющийся набор состоять из одной буквы? Если да, укажите эту букву. 5. Решите неравенство

x + 4x + 3

2

bg bg

-4 x + 13 x - 3 + 1 log
3x

2

4

7

0.

13 + 3

FH

3

1 - cos x

IK



5e

-2 x -1

2

.

b

g

имеет решения; б) при каких значениях a это уравнение имеет решения при любом значении b. Вариант 8 (геологический факультет) 1. Найдите численное значение выражения

2. Найдите знаменатель убывающей геометрической прогрессии, если сумма первого, второго и третьего членов прогрессии равна (7), а пятый член прогрессии меньше второго на 14. 3. Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC (AD>BC) равна 48, а площадь треугольника AOB, где O точка пересечения диагоналей трапеции, равна 9. Найдите отношение оснований трапеции AD:BC. 4. Решите уравнение
sin x + 3 cos x = 2 + 3 cos 2 x +
2

6. При каких значениях параметра a уравнение
sin x + 6 - a - 1 sin x + 6 sin x +
2 2

b

gb

gb g + b a - 1g sin

x = 0

имеет единственное решение? Вариант 11 (экономический факультет) 1. Решите неравенство
log
4 x -1 11

e

7x - 2 x

2

j

0.

FG H

6

IJ K

2. Решите уравнение
tg x + 3 sin x = 0 .

.

F GG H

9a - 16b 4 b + 3a

2

2

-

a b - 3 ab ab

2

2

: 6 ab - 2. Решите уравнение
4-x
2

F GG H

I JJ K

2

:
8a - b 2a - b
3 3

I JJ K

.

5. Дана правильная треугольная пирамида SABC. Точка S вершина пирамиды, AB = 1, AS = 2, BM медиана треугольника ABC, AD биссектриса треугольника SAB. Найдите длину отрезка DM. 6. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие уравнению
3x = 5 y + 4 y - 1 ,
2

3. Решите неравенство

-x

2

= 1.

и докажите, что для каждой такой пары

2 8 + x 10 4. В равнобочной трапеции PQRS ( QR || PS ) известны длины QR = 1, PS = 4. Точки P , Q , R , S лежат по одну сторону от плоскости трапеции, причем прямые PP , QQ , RR , SS перпендикулярны этой плоскости, PP = 1, QQ = 7, RR = 2, SS = 1. Точки K и L лежат на прямых P R

x+8 3- 8+x <

e

j

x + 16

.

#