Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/50.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:58 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: 3

ВАРИАНТЫ
Сколько интервалов на прямой y = 2 x образует ортогональная проекция этой фигуры на указанную прямую? Вариант 2 (механико-математический факультет) 1. Решите неравенство
3 x +1 - 3 x - 2x - 3 .
2

3. Решите уравнение
sin x + 13 cos x - cos x = 0 .
3 3

7. Для любых допустимых значений a решите неравенство
log a 3a - 5 < x + 1 .

2. Решите неравенство
log
2 x +2 5 x -1

e10
2

x + x - 2 0.

2

j

3. Решите уравнение

4. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD. На отрезке SD взята точка K так, что SK:KD = 1:2. Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны , а рассто6 яние от точки K до бокового ребра 4 . Найдите объем пирамиды. равно 13 5. Найдите все значения параметра a, при которых существуют (x;y), удовлетворяющие системе неравенств

e

x

j

8. В правильной треугольной призме ABCA1 B1C1 ( AA1 || BB1 || CC1 ) угол между прямыми AC1 и A1B равен , AA1 = 2. Найдите AB. Вариант 5 (химический факультет) 1. Решите уравнение
x x 4 + 2 - 2 = 0.

2. Решите неравенство
x + 3 > x + 1.

32

cos x + 3 1- sin x

+ 11 2

2 cos x

- 34 = 0 .

4. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке D и боковой стороны AB в точке E. Точка F середина стороны AB, а точка G точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону AB в точке H. Найдите угол BCA, если известно, что FH:HE = 2:3. 5. При каких значениях параметра система

Rmaxb2 | |F |G a + |H | S |16 | | | | T
2

3y, y + 2 5, 6 arccos 1 x
2

g

3. Решите систему

2
2

arcsin x + 2 arcsin x
2

b

gIJK

12

z + xz + yz - 4 = 0. 4. Решите уравнение

R | S | T

x + y + 2 x - y + 2 = 0,
2

2

2

b

g



sin x cos 2x + cos 6 x + cos x = 2 .
5. Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причем CE = DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника CKM, если AB = 10, AE = 1. 6. Решите уравнение
log 2 4 x + 1 log 5 4 x + 4 +

b

g

2

y + 2ay + 7.

имеет ровно четыре решения? 6. Дана пирамида ABCD. Сфера касается плоскостей DAB, DAC и DBC в точках K, L и M соответственно. При этом точка K находится на стороне AB, точка L на стороне AC, точка M на стороне BC. Известно, что радиус сферы равен 3, ADB = 90њ, BDC = = 105њ, ADC = 75њ. Найдите объем пирамиды.
КВАНT 1999/?1

Rcos | | | |cos |b | S | | | |log | | T

2

bxyg g

2 sin2 x 3 sin 2 y

bg

3 xy sin2 2

b

2

FG1 H

+ 4 sin

2

FG H

4

bg bg xg 2 sin b yg 31 + tgb g 22 I I J x y J 16 K K
2 2 2

2 + tg = 0,

6. В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD делит пополам отрезок OH, где O центр описанной окружности, H точка пересечения высот. Известно, что AC = 2, AD = 3 + 2 1. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности. Вариант 4 (физический факультет) 1. Решите уравнение
4 cos x cos 2 x sin 3 x = sin 2 x .

b

+ log

3

gb g b4 x + 2g log b4 = 2 log b4 x + 2g
4 3

x+3 = log
5

g b4

x+4 .

g

= 0, 1 2

2. Решите уравнение

log3 x - 2 - log9 x - 10 x + 25 = log3 2 .

b

g

Вариант 6 (биологический факультет) 1. Вычислите

e

2

j

log

3. Решите неравенство
2 x +1 2 x +7

FG H

ba

37

5

IJ K

F GH

7

a

b b

I JK

,

9 -2

x

2

<2

2

-3

2 x -1

.

если logb a = 3 . 2. Решите неравенство
x + x - 2 + x + 4 x + 2x + 6 .
2 2

4. Медианы AM и CN треугольника ABC пересекаются в точке O. Известно, что BAC = , BCA = , AC = =b. Найдите расстояние от точки O до прямой AC. 5. Решите систему уравнений
x + x + y - 1 = 0, y - 3 + x - y + 6 = 0.

3. Решите уравнение

1 - cos 2 x = 2 sin x cos x -

Вариант 3 (факультет вычислительной математики и кибернетики) 1. Решите неравенство 5x + 3 2x > . x+2 2. Решите неравенство

FG H

2 3

IJ K

.

log2 5 - x log

b

g

b x +1g

1 8

-6 .

6. На отрезке AB взята точка C, отрезки AB и CB служат диаметрами окружностей. Хорда AM касается меньшей окружности в точке D. Прямая BD пересекает большую окружность в точке N, DAB = , AB = 2R. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

4. Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник ABC (C вершина прямого угла). Все боковые грани пирамиды наклонены к ее основанию под одинаковым углом, 5 равным arcsin . Найдите площадь 13 боковой поверхности пирамиды, если SO высота пирамиды, AO = 1, BO = = 3 2.

#