Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/59.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:04 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: 3

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

По теореме синусов для ACD :
AC CD = , sin CDA sin 6 1 4-2 2 8 2+ 2 2

BOK равны. Поэтому OKB =

1 2

CKB =

2

,

ACE ' OKB и KB =

OB AE

CE = 15. Так как CD AB , то AE AB

откуда
sin CDA =

=

F GH

= cos

8

I JK

CD || KB и AME ' AKE, откуда МЕ = KB
.
S
CKM

=

3 2

и

. Поэтому CAB = 24 5 1 AC - , значит, 2R = = = иR= = sin CBA 38 24 - sin 38 6 - 2 +2 . = 2+ 2

Значит, = KAD =

, откуда =

CM BE = . 4 2 6. 1/4. Указание. После замены у = 4х + 1 уравнение приводится к виду

=

1

27

log 5 y + 3 log 2 y - log 3 y + 1 =

FG H

IJ K

b

gd

b

= log 3 y + 1 log 5 y + 3 - log 4 y + 2 . ( & )

b

gi

gd b

g

b

gi

Вариант 4 1.
5 2 b sin sin 4. . 3 sin +
2

b

2n + 1 ,

g

n

, n U Z. 5. -1; 1 .

2. 4; 8.

3. -; 3 2 .

b

g

6. R cos 1 + sin . Указание. Площадь четырехугольника удобно найти по формуле: 'полупроизведение диагоналей на синус угла между ними'. Угол между диагоналями АМ и BN легко вычисляется через , если заметить, что OD || BM , где OD радиус окружности с диаметром СВ. 5 7. -;log a при 0 < a < 1 ; 3-a

b

b

g

g

b

g

Нетрудно видеть, что у = 2 корень уравнения ( & ). Функция 1 log 2 y log 2 3 - 1 - log 2 1 + y f y = log 2 y - log 3 y + 1 = log 2 3 является возрастающей как сумма двух возрастающих 1 тоже возрастафункций ( log 2 y возрастает, - log 2 1 + y ет). Следовательно, f y < 0 при 0 < y < 2 и f y > 0 при y > 2. Аналогично, функция

bg

b

g

d

i

F GH

I JK

bg

F GH

I JK

bg

g y = log

bg

5

b

y + 3 - l og

g

4

b

y +2

g

F GH F log GH F log GH

I JK

убывающая, обращающаяся в нуль при у = 2, поэтому g y > 0 при 0 < y < 2 и g y < 0 при y > 2.

bg

bg

Вариант 6 1. 3.

5
a

3 5 3

; log ;

5
a

a

I +J K
2
2

3-a

I JK

2-7 3 14 3 + 10

при 1 < a < 3 ;

при a 3 .

4 sin

8.

2 диагоналей, например A1 B в положение A2 A , дает треугольник A2C1 A с заданным углом , все стороны которого выражаются через х = АВ = A2 A1 = A1C1 , после чего х находится по теореме косинусов.

3 - 4 sin



. Указание. Параллельный перенос одной из

4. Точка О центр окружности, вписанной в треугольник АВС, AOB = 135њ, откуда АВ = 5, 3 радиус вписанной окружности , периметр треугольника 5 АВС равен 56/5. 2 n 5. t = 1; х = + , n U Z. Указание. Первое неравен5 30 ство приводится к виду

F 1I n , - arccos G - J H 3K 91/25. Указание.

.

2. -6; - 1 7 0; + .
+ 2 n , n U Z.

g

3 2 -2
откуда t = 1, sin 5 x = -

e

t

j

2

+ 2 sin 5x +
. Вариант 7

1. 0. 2. -3; 1 . 3. -1; 1; + 2 . Указание. Приведите первое уравнение к виду y 1 = 0 . 4. - + 2 n , n Z. Указание. Приведите уравнение к виду 2 t 2 - cos 2 x + cos 6 x t + 1 = 0 , 2 где t = sin x . Его дискриминант cos 2 x + cos 6 x - 4 0 , откуда следует, что либо cos 2 x + cos 6 x = 2, либо cos 2 x + + cos 6 x = 2. В первом случае sin x = 1, но тогда cos 2 x + + cos 6 x = 2противоречие. Во втором случае sin x =1, х = + 2 n и cos 2 x + cos 6 x = 2. 2 5. 27/4. Решение. По свойству пересекающихся хорд CE ED = AE BE , откуда СЕ = 3. Пусть О центр окружности, а AOC = . Тогда ACD = = , CKB = . Прямоугольные треугольники COK и 2
2

g

b g b x + 1g + b b

Вариант 5

1 2

F GH

1 2

I JK

2

0,

g

2

b

g

1. 7/9. 2. -1 10 ; cos 2 . 3. -3; - 2 -1 7 0; 1 . Указание. Выполните замену t = =|x +1| и примените метод интервалов.

b

g

4. -1; 1 . 5. 25/72. Указание. Часть куба, содержащая точку B1 , треугольная пирамида, от которой отрезаны 'угловые тетраэдры'. Считая, что ребро куба равно 1, найдите объемы упомянутых пирамид. 6. а) a 26 + 1 ; б) a уравнение к виду или
26 - 1 . Указание. Преобразуем

e

gl q b g 3 j , b 3 2 ; 9g

b

5 + cos b cos x + 1 + sin b sin x = a , 27 + 10 cos b + 2 sin b sin x + = a ,

g

b

g

b

g

#'