Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/55.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:02 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 2

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
ГАУССОВЫ СУММЫ
2. а) Сложите векторы рисунка 1, где |OA | = ax, |OB | = bx. б) Сложите векторы рисунка 2, где | OA | = ax, | OB |=| OC | = = b x.


=

б) Обозначив a = k m, получим
Sn S n =

e j e j
m m n n -1

t



t

2

= -1

bg
=

m



t

2

= -

t

2

при t = 1,..., m.

B


k =0 m= 0

n -1



2 2 k -m


a= 0 m =0

n -1

n -1



b

2 a +m 2 -m

g

=
a2 + 2am

=


a= 0 m =0

n -1

n -1



=



a 2 a =0 m= 0

n -1

n -1



2 am

.

A

' O

B A
Рис. 2

"#

' O

C

При a = 0 или a = n/2 все n слагаемых суммы ны 1. При всех остальных значениях a сумма 0. Следовательно,
Sn Sn = 1 +

Рис. 1

5.

n 2 = 1- 1-
n2

b ge

2

6. а) n; б) n R . 7. В формулу (3) подставьте n = 5, z = 2. (Применив теорему косинусов, можно доказать, что PB =

n n -1 2

bg

j K FH

1-

b

n-2 2

g

IK


m=0

m=0 n -1




n -1



2 am

равравна

2 am

.

6 - 5 и PC =

= 6 + 5 .) 8. а) |1 k | длина хорды, стягивающей дугу величиной n-1 ). 2 k n . Поэтому |1 k | = 2sin k n (здесь k = 1,..., 2 b n -1g 2 . б) n 2 2 9. в) Поскольку 4 sin sin = 5 , имеем 5 = 5 5 3 2 = 2 cos - cos = 2 cos + cos , откуда получаем пред5 5 5 5 ставление

b

g

12. Поскольку = -1 , сопряженное к S p число есть сумма 2 -1 - p -1 S p =1 + + -4 +...+ b g . Можно доказать две сформулированные ниже леммы. Из леммы 1 следует, что если простое число p имеет вид p = 4k + 1, где k натуральное число, то последняя сумма отличается от суммы S p = 1 + + + +...+
2 4

FG H

bn 2g

2

IJ K

n = 2n .

b p -1g2 только порядком слагаемых, так что Sp =

F GH

I JK

FG H

IJ K

5 = cos

F GH

5

+ i sin

5

I+F JK GH

cos

5

- i sin

5

+ cos

FG H

I JK

+

2 2 2 2 + i sin + cos - i sin 5 5 5 5

IJ FG KH

IJ K

2 p -1 + +...+ ) = 0, так что S p = S p - S p = p. Лемма 1. Для простого p = 4k + 1 существует такое целое 2 число x, что x +1 кратно p. (Другими словами, 1 является квадратичным вычетом по простому модулю p = 4 k + 1.) Лемма 2. Для простого p = 4k + 3 сравнению 2 2 x - y mod p удовлетворяют только кратные числу p целые числа x, y. (В частности, 1 не является квадратичным вычетом по простому модулю p = 4k + 3.)

= S p и S p = S p S p = p. А из леммы 2 следует, что если p = =4k + 3, то рассматриваемые суммы имеют только одно общее слагаемое число 1. При этом S p + S p = 2(1 + +
2

ej

b

g

числа

5 в виде суммы корней 10-й степени из единицы. 2 -1 + 5 =1+4 = 5. 10. а) S 5 = 1 + 4 cos 5 4 4 9 16 25 36 4 б) S7 = 1 + + + + + + = 1 + + +
2 2 4 2 4

КОНКУРС 'МАТЕМАТИКА 68'
(см. 'Квант' ? 4 за 1998 г.) 1. Ответ: да, существует. Если ABCDE правильный пятиугольник, то требуемым свойством обладает, например, четырехугольник ABCD. 2. Нетрудно заметить, что точки Р и Q симметричны относительно центра О параллелограмма (рис.3). Из равенства площадей треугольников РВМ и РОМ, а также равенства площадей треугольников C B QCM и QOM, с учетом равенства площаP дей треугольников O РОМ и QOM, следуQ ет требуемое равенство площадей треD угольников РВМ и A M QCM. Рис. 3 3. Ответ: нет. Сумма двух чисел делится на 3, если либо оба числа делятся на 3, либо одно из них при делении на 3 дает остаток 1, а другое остаток 2. Все числа, написанные на квадратах, разобьем на три группы: 1) делящиеся на 3; 2) дающие при делении на 3 остаток 1; 3) дающие при делении на 3 остаток 2. В каждой группе по 8 чисел, и мы можем считать, что у нас имеется 8 'единиц', 8 'двоек' и 8 'троек'.

+ + + + = 1 + 2( + + ). Вычислим сначала вещественную часть: 1 + 2 cos +( cos + cos
2 7

+ 2 cos

4 7

+ 2 cos

8
+

2

7 6 7

+ cos

12 7

) + ( cos

4 7

+ cos

10 7

) + ( cos

7 8
7

=1+

) = 0, ибо сумма семи векторов рисунка 1 текста ста-

тьи равна нулю. Теперь вычислим мнимую часть: 2( sin + sin

2 7

+

4

7 7 7 =i 7. 4 9 16 в) S 8 = 1 + + + + + 4 4 + + +1+ + + =2 4 = 2 2 1 + i ); S9 = 3 + 2( +

sin

6

) = 8 sin

2

sin

4 7

sin
25

6 7
36

=

7 . Итак, S7 =
49

11. а) Если n = 2m, где m нечетно, то b

bg

+ + =1+ + 4 + 4 + 2 = 4 = + ) = 3; S10 = 0.
m+t 7

g2 =

2 2 m + 2 mt + t

=

##