Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/43.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:01 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:48 2012 Кодировка: Windows-1251

М А ТЕМ АТИЧЕСКИЙ
Случай n = 8
Обратимся к пункту б) задачи М1624. Пусть диагонали вписанного восьмиугольника A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 пересекаются под равными углами в точке P (рис. 13). Опустим из центра O описанной окружности перпендикуляA A
% $

КРУЖО К
(5) легко вывести утверждение следующей леммы. Лемма 4. Старшие коэффициенты n -1 многочленов Tn и Qn -1 равны 2 . Подготовка закончена. Пора пристально взглянуть на число x = cos n , где n натуральное число, n > 3. Предположим, что число x рационально, и разберем несколько случаев. Если n делится на 4, то противоречие очевидно: n 1 2 = cos 4 = cos n4

были бы рациональными. Но при n > 3 число cos n иррационально (доказательство см. в Приложении).

bg

Случай нечетного n > 3
Продолжим каждый из лучей AP , где i i = 1,..., n, до пересечения с окружностью в точке Bi . В силу упражнения 13,

bg

PA1 + PA2 + K + PAn =
= PB1 + PB2 + K + PBn . (4)

B A& B A A A
Рис. 13
! !

P B
"

O B


По свойству хорд,
A
#

bg IJ K

PA1 PB1 = PA2 PB2 = K = PAn PBn .
Значит, величина PAi PBi = с одна и та же для всех i = 1,..., n. Предположим, что все длины PAi рациональны. Подставив выражения PBi = c PAi в формулу (4), получим равенство

оказывается, в силу следствия из леммы 3, рациональным числом. Если n нечетно, воспользуемся равенством 1 = cos n

FG H

IJ K

A

"

FG H

n

= Tn cos

FG H

n

IJ K

.

ры OB1 , OB2 , OB3 и OB4 на диагонали A1 A5 , A2 A6 , A3 A7 и A4 A8 . Получим, в силу упражнения 3, квадрат B1B2 B3 B4 , на описанной окружности которого лежит точка P. Если бы длины всех отрезков PAi (i = 1,..., 8) были рациональны, то и длины отрезков PB1 = PA5 - PA1 2 , ..., PB4 = = PA4 - PA8 2 были бы рациональны, что противоречит равенству PB1 + + PB3 = 2 PB2 упражнения 1.

PA1 + PA2 + K + PAn =
=c

F GH

1 PA1

+

1 PA2

+

1 PAn

I JK

,

d

d

i

i

из которого следует, что c рациональное число. Значит, рациональны и все выражения PBi = c PAi . В предыдущем разделе доказано, что такого не бывает.

Приложение
В заключение докажем иррациональность чисел вида cos n , где n натуральное число, n > 3. Для этого нам понадобится следующая лемма. Лемма 3. Существуют многочлены с целыми коэффициентами Tn и Qn -1 степеней, соответственно, n и n 1, для которых

Случай четного n > 6
Займемся пунктом д) для четных n. Пусть, для определенности, центр O окружности лежит внутри угла A2 PA3 . Обозначим OPA2 = . Опустим перпендикуляры PB1 , PB2 и PB3 на прямые PA1 , PA2 и PA3 . Тогда
PB1 = OP cos

bg

Оно означает, что x удовлетворяет уравнению Tn x + 1 = 0. Как известно, рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами имеют вид p/q, где p делитель свободного члена, а q делитель старшего коэффициента. В нашем случае q оказывается степенью двойки, а p равно 1, поскольку при нечетном n свободный член многочлена Tn x + 1 равен 1 (свободный член многочлена Tn можно найти очень легко, подставив = = 2 в тождество cos n = Tn cos ). k Значит, x = 1 2 для некоторого целого неотрицательного k. Осталось вспомнить, что x = cos n > cos 3 = 1 2 и противоречие получено. Случай, когда n обладает нечетным делителем m > 3, тоже легко привести к противоречию:

bg

bg

bg

b

g

bg


bg
n

cos

m

= cos

FG H

n

+ ,

IJ K

PB2 = OP cos , PB3 = OP cos
откуда
PB1 + PB3 =

R | S | T

cos n = Tn cos , sin n = sin Qn
-1

b

g

b

cos .

g

А больше никаких случаев рассматривать не надо любое натуральное число n > 3 делится на 4 или имеет нечетный делитель, больший числа 3.

FG H

mn

IJ K

.

FG H

n

- ,

IJ K

b g Rcosbn + 1g = cosn cos - sin n sin = | т. е. cosb ng = d PB + PB i c2PB h . |= T bcosg cos - e1 - cos jQ bcosg, | Если бы длины всех отрезков PA S были рациональными, то и длины |sinbn + 1g = cosn sin + sin n cos = | PB = c PA - PA h 2 , |= T bcosg sin + sin Q bcosg cos. T PB = c PA - PA h 2 , (5 ) PB = d PA - PA i 2 Лемма доказана. По индукции из формул
= 2OP cos cos n = 2 PB2 cos n ,
1 3 2 i n 2 n-1 1 1 n +1 n n-1 2 2 n+2 3 3 n+3

bg

Следствие из леммы 3. Если число cos рационально, то рациональны и все числа вида cos k , где k = 1, 2, ... Доказательство леммы 3. Применим индукцию. База очевидна: при n = 1 имеем T1 x = x и Q0 x = 1. Переход тоже не сложен:

bg

bg

"!