Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/41.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:00 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:47 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: manicouagan crater

Поскольку AX = DP, BY = EP, CP = =FZ, задача 2 сводится к проверке равенства XP = YP + ZP. Оно обеспечено задачей 1, поскольку треугольник XYZ равносторонний (по теореме о вписанном угле, YZX = YPX = 60њ и XYZ = XPZ = 60њ). Аналогичное задаче 2 утверждение можно сформулировать и в случае, когда точка P лежит вне шестиугольника. А именно, если под углом 60њ друг к другу провели три прямые, которые пересекли некоторую окружность, как

ружности, и вырождается в 'двуугольник', если окружность разделили двумя диаметрами на четыре равные дуги).

Случай n = 4
Займемся пунктом а) задачи М1624. Напомним, что если хорды KM и LN окружности пересекаются в точке S, то KS MS = LS NS. Более того, легко доказать следующую лемму. Лемма 1. Если отрезки KM и LN пересекаются в точке S, то необходимым и достаточным условием принадлежности точек K, L, M и N одной окружности является равенство KS MS = LS NS. В силу леммы, для построения примера к пункту а) достаточно взять любые два перпендикулярных отрезка,

=b, PD = d, PE = e . В силу леммы 1, точки A, B, D, E попадут на одну окружность. Рассмотрим точки C и F пересечения этой окружности с третьей прямой и обозначим c = PC , f = PF . Тогда

R | S | T

a + c + e = b + d + f , ad = be = c f ,
(3)

B

P FE D C
Рис. 6

A

где c и f это вовсе не производные, а всего лишь длины отрезков PC и PF . Из систем (2) и (3) имеем

R | S | T

c - c = f - f , cf = c f .

b c d
Рис. 8

Запишем первое уравнение в виде c f = c f , возведем в квадрат и прибавим к результату учетверенное второе уравнение:

показано на рисунке 6, то легко доказать равенство AP + CP EP = BP + DP FP. Оно аналогично равенству (1), только некоторые отрезки 'взяты со знаком минус'.
Упражнения 2. Через точку проведены три прямые под углом 60њ друг к другу. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой другой точки плоскости на эти прямые, являются вершинами равностороннего треугольника. 3. а) Через точку провели четыре пря-

a

b

c+f

g =d
2

c + f .

i

2

Значит, c + f = c + f . Вспомнив уравнение c f = c f , получаем c = c , f = f . Лемма 2 доказана.
Упражнение 4. Придумайте другой способ доказательства равенств c = c , f = f , основанный на том, что числа c и f являются корнями квадратного уравнения x 2 (c f)x = cf, а 'другими' корнями того же самого уравнения являются числа c и f .

которые делятся точкой пересечения на такие отрезочки длин a, b, c, d, что ac = bd. Годятся, например, a = 4, b = =2, c = 1, d = 2 (или a = 6, b = 4, c = 2, d = 3, как на рисунке 8).

Случай n = 6
Для вписанного шестиугольника ABCDEF, диагонали AD, BE, CF которого под равными углами пересекаются в точке P, как мы доказали, выполняются равенства

Чтобы построить пример к пункту в), осталось предъявить решение системы (2) в натуральных числах a, b, c, d, e,

R | S | T

a + c + e = b + d + f, ad = be = cf ,

(2)

Рис. 7 мые под углом 45њ друг к другу (рис. 7). Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой другой точки плоскости на эти прямые, являются вершинами квадрата. б) Окружность разделили диаметрами на равные дуги и из произвольной точки опустили перпендикуляры на эти диаметры. Докажите, что основания этих перпендикуляров вершины правильного многоугольника (который вырождается в точку, если 'опускать перпендикуляры' из центра ок-

где a = PA, b = PB, c = PC, d = PD, e = PE, f = PF. В пункте в) задачи М1624 мы должны выяснить, могут или нет все длины a, b,..., f быть рациональными, если точка P не является центром окружности. Лемма 2. Если на пересекающихся под углом 60њ друг к другу прямых от точки их пересечения P отложить отрезки PA = a, PB = b, ..., PF = f, для которых выполнены равенства (2), то получится вписанный шестиугольник AВCDEF. Доказательство. Отложим сначала на двух прямых отрезки PA = a, PB =

Рис. 9

f, не все из которых равны друг другу. На рисунке 9 приведено даже три примера. Хотите узнать, как их придумали? Решите следующие три упражнения!
Упражнения 5. Придумайте натуральные числа, не все из которых равны друг другу, удовлетворяющие уравнениям ad = be = cf.

"