Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/23.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:00 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:21:07 2012 Кодировка: Windows-1251

ЗАДАЧНИК 'КВАНТА'

ружность радиусом 1, в некоторые вершины этого многоугольника проведены векторы. Может ли длина суммы этих векторов равняться а) 1998; б)* 1998 ? Ответ на оба вопроса задачи утвердительный. Начнем построение примера к пункту а). Длина суммы OB2 + + OB3 + OB4 векторов рисунка 2 равна 2. Чтобы построить систему векторов, длина суммы которых равна 3, помимо шестиугольника рассмотрим пятиугольник (рис.3). Благодаря формуле (1) B B сумма четырех векто ров OC1 + OC2 + + OC3 + OC4 , проведенных из центра в чеB$ тыре вершины правильB! ного пятиугольника, O противоположна векто ру OC5 , соединяющему центр с пятой верB# B" шиной пятиугольника. Рис.2 И вершины пятиугольника, и вершины шестиугольника лежат в вершинах правильного 30-угольника. Аналогично, чтобы построить систему векторов, длина суммы которых равна 4, добавим еще 6 векторов OA1 ,... ..., OA6 , соединяющих C центр с вершинами семиугольника (см. рис.1). Продолжая в таком же духе, мы и получим приC# мер к пункту а). O Формальное описание изложенной конструкции таково. Пусть n1 , n2 ,... C! ..., n1998 попарно взаимC" но простые числа. РассмотРис.3 рим правильный n1 n2 ... ... n1998 -угольник. Зафиксируем некоторую его вершину A. Назовем 'выделенным' ni -угольником (i = 1,... ..., 1998) правильный ni -угольник, одной из вершин которого является точка A, а другие вершины являются вершинами n1 n2 ... n1998 -угольника. Выделенные ni -угольник и n j -угольник (i j) имеют, благодаря взаимной простоте чисел ni и n j , единственную общую вершину A. Рассмотрим векторы, идущие из центра O многоугольника во все вершины всех выделенных ni -угольни ков, кроме A. Их сумма равна 1998 OA , что и требовалось. б) В следующем разделе статьи мы построим с привлечением комплексных чисел сумму длиной n при любом натуральном n, а пока предлагаем ряд упражнений. Тот, кто справится с ними, получит решение пункта б), не использующее никаких выходящих за рамки школьной программы понятий (но, к сожалению, существенно использующее специфику числа 1998 ).
C
Упражнение 1. Воспользовавшись приемом решения пункта а), докажите, что если можно представить в искомом виде (т.е. в виде суммы векторов, проведенных из центра вписанного в единичную окружность правильного многоугольника в его вер шины) некоторый вектор v , то можно представить в таком виде и вектор a v , где a натуральное число.
6*


Упражнение 2. Докажите, что если можно представить в искомом виде вектор длиной x, то можно представить в таком виде и вектор длиной а) x a + b , б) x a + 2b , где a и b натуральные числа. Замечание. Если в искомом виде можно представить некоторый вектор длиной m , то можно представить и вектор длиной
2 m . Поэтому в дальнейшем мы можем искать вектор длиной n только для нечетных n.
2 2 2 2

Упражнение 3. Решите пункт б) задачи M1648. Указание.
1998 = 3 + 18 2 + 2 1 .
2 2 2 2

Корни из единицы
Сейчас мы запишем равенство (1) в довольно неожиданном виде. Для этого рассмотрим уравнение z n 1 = 0 и разложим его левую часть на множители: Значит, если z = 1 и z 1, то
n

b z - 1ge
z

z

n -1

+z

n-2

+ K + z + 1 = 0.
(2)

j

n -1

+z

n-2

+K+ z + 1 = 0.

В статье 'Многочлены деления круга' ('Квант' ?1 за 1998 год) рассказано о том, что уравнение z n =1 имеет n решений 'корней из единицы'. Они являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, и имеют вид 2 k 2 k k = cos + i sin , n n 2 2 + i sin , k = 1,..., n. Сумма всех корней где = cos n n n-й степени из единицы (при n > 1) равна 0:

1 + +K+

n-2

+

n -1

= 0.

Это, по сути, и есть равенство (1)! Зная все n корней , 2 ,..., n (=1) многочлена n z 1, мы можем разложить его на множители:

z -1 = z - z - K z -

n

b

ge

2

je

n -1

jb

z -1 .
n -1

g

(3)

Сократив обе части на z 1, получим

z

n -1

+z

n-2

+K+ z + 1 = z - z - K z - =

b

ge

2

je j
.

j

. (4)

Подставим в последнее равенство вместо z число 1:

n = 1- 1- K 1-

b ge

2

je

n -1

(5)

Упражнение 4. Чтобы получить равенство (5), мы подставили z = 1 в равенство (4), которое получилось делением на z 1 обеих частей равенства (3). Объясните, почему так делать можно, хотя 'на ноль делить нельзя'.

Пусть n нечетное число. Тогда все множители правой части (5) можно разбить на комплексно сопряженные (т.е. симметричные относительно оси абсцисс) пары 2 k 2 k чисел 1 k = 1 cos i sin и 1 n-k = n n 2 k 2 k =1 cos + i sin (рис. 4). Взяв из каждой пары n n сопряженных множителей только один множитель, мы получим число, модуль которого квадратный корень из

!