Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/24.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:00 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:11:51 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: comet tail

k

модуля произведения:
n=

Упражнение 9. Представьте в виде суммы корней из единицы числа а) 2 ; б) 3 ; в) 5 .
2

= 1- 1- K 1-

b ge

2

jb g

b n-1g

.

Гауссовысуммы
Обозначим

(6) Раскрыв скобки в произведении, стоящем в формуле (6) под знаком модуля, мы получим вектор, длина nk k которого равна n . Он ока = зывается суммой корней из Рис.4 единицы. (Знаки вычитания нас не смущают, поскольку корень из единицы, взятый со знаком минус, все равно является корнем некоторой степени из единицы.) Если некоторые корни из единицы встретятся в этой сумме неоднократно, то можно применить прием пункта а) и по одному, вводя все новые простые числа, заменять такие корни.
Упражнение 5. Выпишите равенство, аналогичное равенству (6), для четного n. Упражнение 6. а) Найдите произведение A1 An A2 An K An -1 An длин сторон и диагоналей, выходящих из вершины An правильного n-угольника A1 A2 K An , вписанного в окружность единичного радиуса. б) Найдите произведение длин всех сторон и диагоналей правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R. Упражнение 7. Пусть ABCDE правильный пятиугольник, вписанный в окружность с центром O. Если AO = 1 и если точка P симметрична точке O относительно точки A, докажите, что PB PC = 31 . Упражнение 8. а) Выведите из равенства (6), что если n нечетное, то
2

Sn = 1 + + 4 + 9 + K +

b n-1g

2

.

Упражнение 10. Вычислите Sn при а) n = 1, 2,..., 6; б*) n = 7; в) n = 8, 9, 10.

После ряда безуспешных попыток Гаусс в 1811 году доказал, что n, n 1 mod 4 , n 2 mod 4 , 0, Sn = i n, n 3 mod 4 , 1 + i n, n 0 mod 4 . В 1835 году Дирихле при помощи рядов Фурье получил другое доказательство этого факта. К сожалению, оно тоже слишком сложное и не может здесь обсуждаться. Абсолютную величину Sn , в отличие от точного значения этого числа, найти легко. Мы сделаем это в случае, когда n нечетное число. Поскольку модуль числа равен корню из произведения числа и его сопряженного, достаточно доказать формулу т. е.
Sn Sn = n ,
4 9

R | | S | |b g T

b b b b

g g g g

(7)

FG H

1 + + + +K+

b n-1g2

b n -1 g

2

sin n sin 2 n K sin

bgb

g

F GH

n-1 2 n-2 2

n

I JK

Ч 1 + + + +K+

F GH

IJ K

Ч
4 9

b n-1g2

I JK

= n.

=

n.

б) Найдите произведение
sin n sin 2 n K sin

bgb

g

где n четное число.

F GH

n,

I JK

КВАНT 1999/?1

К сожалению, формула (6) дает только длину, а не направление вектора. Получить вектор длиной n известного направления проще всего при помощи формул для гауссовых сумм (см. следующий раздел). Можно обойтись и более простыми (но, к сожалению, менее естественными) средствами применив к формуле упражнения 1 cos - - cos + преоб8 а) формулу sin sin = 2 разования произведения синусов в разность косинусов и аналогичные формулы для произведения синуса и косинуса и для произведения косинусов, можно получить формулу вида m 2 cos k = n , 2n k

Как известно, = -1 . Раскроем скобки. При умноже2 нии взятого из первой скобки числа k , где k = 0,..., n 2 1, на взятое из второй скобки слагаемое - m , где m = 2 2 = 0,..., n 1, получаем k - m . Обозначим через a и b остатки от деления на n чисел k m и k + m. Очевидно, 2 2 k -m = ab . Любой паре остатков (a; b) соответствует единственная пара (k; m). (Докажите!) Поэтому при 2 суммировании встретятся по одному разу все n разных пар (a; b) и, следовательно,
Sn Sn =
n -1


b= 0 a= 0

n -1 n -1



ab

.
ab

cb

g

b

gh

При b = 0 все n слагаемых вида 1 b < n сумма

равны 1. При


a= 0



ab

равна 0. Равенство (7) доказано.



Упражнение 11. Докажите, что а) если n = 4k + 2, где k N, то Sn = 0; б) если n = 4 k, где k N, то | Sn | = 2 n . Упражнение 12*. Докажите, что если p нечетное простое 2 p- число, то S p = -1 b 1g 2 p .

где mk целые числа. Далее можно воспользоваться тем, что удвоенный косинус любой рациональной доли угла есть сумма сопряженных корней из единицы (а именно,
2 cos m
k

bg

корень 2n-степени из единицы).

2n

=

mk

+

- mk

, где = cos n + i sin n

bg

bg

24