Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/05.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:59 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:54 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: horizon

МАТЕМАТИКА В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XX ВЕКА

ное отображение отрезка на квадрат. Но взаимно однозначного и непрерывного отображения отрезка на квадрат построить невозможно. Это доказывается в теории размерности разделе топологии, который появился на свет во втором десятилетии нашего века. В его создании принимали участие Пуанкаре (поставивший задачу и наметивший путь ее решения), крупнейший голландский математик нашего века Брауэр, великий французский математик Лебег, австрийский математик Менгер и выдающийся представитель московской школы (трагически погибший в возрасте 26 лет) Урысон.1 Ныне слово 'комбинаторная' при определении 'геометрической' топологии оказалось отброшенным, и когда произносят слово 'топология' без дополнительного определения, имеется в виду топология, рожденная Пуанкаре. Судьба двух топологий оказалась различной. Общая топология служит, в основном (вспомним Якоби), прославлению человеческого разума, не участвуя непосредственно в постижении законов природы или прикладных исследованиях. Долгое время и геометрическая топология воспринималась как наука 'далекая от жизни', призванная лишь прославлять человеческий разум, но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания. Помимо этого, топологические методы ныне пронизывают фактически все разделы математики анализ, теорию дифференциальных уравнений и т.п. Сейчас топология одна из центральных областей математики.

где а = x0 < x1 < ... < xn -1 < xn = b разбиение отрезка, а i некоторая точка отрезка xi , xi -1 . Лебег же стал поступать по-другому. Он разбивал не ось абсцисс, а ось ординат точками ... y i-1 < y i < ..., мотивируя это тем, что для разрывной функции невозможно выбрать точку i , которая адекватно 'представляла' бы функцию f на отрезке xi -1 , xi . Но множества Ei на оси абсцисс, для которых y i -1 f x < < y i , у достаточно сложных функций могут быть устроены весьма причудливо, и для построения теории интегрирования необходимо было в первую очередь построить теорию меры, т.е. научиться измерять такие множества. Это было сделано Борелем и Лебегом. Меру множества Е (скажем, на отрезке [0, 1]) Лебег определял следующим образом. Нижнюю грань сумм длин интервалов, покрывающих Е, назовем верхней мерой Е. Верхняя мера определена для любого множества. Множество Е называется измеримым по Лебегу, если сумма верхней меры этого множества и верхней меры его дополнения (по отношению к отрезку [0, 1]) равна единице. Тогда верхнюю меру Е называют мерой Лебега множества Е и обозначают mes(E). Римановы суммы для вычисления интеграла Лебег заменил суммами

bg

Трансформировалась и теория множеств. У истоков нового направления стояли три французских ученых Борель, Бэр и Лебег. Они заложили основания дескриптивной теории множеств теории числовых множеств, где стали изучать строение сложных, причудливо устроенных множеств. В двадцатые годы ведущая роль в теории функций перешла к русской школе, которую представляли Николай Николаевич Лузин и его ученики П.С.Александров, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров, Д.Е.Меньшов, М.Я.Суслин, А.Я.Хинчин и др. Они и заложили основания московской математической школы. Сделав первые шаги в теории функций, ученики Лузина пошли в дальнейшем каждый своим путем. Колмогоров и Хинчин преобразовали теорию вероятностей, Александров и Урысон топологию, Люстерник и Шнирельман нелинейный анализ, Новиков внес выдающийся вклад в математическую логику, Лаврентьев сделал крупнейшие открытия в комплексном анализе и механике. Лишь Меньшов и Бари продолжали дело своего учителя. В тридцатые годы ни одна математическая школа мира не располагала таким созвездием выдающихся ученых. Теперь настала пора рассказать о том, какую роль сыграла математика в постижении законов природы.

вида


i

i mes Ei , где i некото-

ch

Математика и физика
В конце прошлого века казалось, что физика завершенная область знаний. По легенде, когда некий юно2 ша обратился к мэтру с просьбой о напутствии он хотел стать физиком, мэтр сказал, что не видит у физики перспектив: на почти безоблачном небе отрытых истин видны лишь два небольших облачка опыт Майкельсона и законы излучения. Скоро они рассеются, и в физике нечего будет делать. Через несколько лет из первого облачка родилась специальная теория относительности, а из второго квантовая механика, которые перевернули все наше представление о мире. Специальная теория относительности была создана в 19041906 гг. усилиями Лоренца, Эйнштейна и Пуанкаре. Устройство физического мира, описываемого этой теорией,
2 Макс Планк. (Прим. ред.)

Теория функций
В начале века Лебег завершил построение теории меры и интегрирования. В XIX веке вослед за Коши и Риманом интеграл

ли как предел римановых сумм: за приближенное значение интеграла брались выражения вида

z
b a

f x dx понима-

bg

f c hc
i i =1

n

xi - x

i -1

h

,

1 О теории размерности см., например, в статье 'Павел Самуилович Урысон' в 'Кванте' ?3 за 1998 год.
2 Квант ? 1

рая точка отрезка y i -1, y i . Он весьма выразительно описал преимущество своего метода. 'В методе Коши, писал Лебег, оперируют так, как делает это неопытный клерк, который подсчитывает монеты и кредитные билеты сообразно тому, как они попадаются под руку. Тогда как мы оперируем, как опытный и методичный клерк, говорящий: у меня mesE1 монет по одному франку, стоящих 1 Ч mesE1 , у меня mesE2 монет по два франка, стоящих 2 Ч mesE2 , у меня mesE5 монет по пять франков, стоящих 5 Ч mesE5 , ... Итого, у меня 1 Ч mesE1 + 2 Ч mesE2 + 5 Ч mesE5 + ... франков. Конечно, и тот и другой клерки придут к одному и тому же результату. Но в случае сумм неделимых, число которых бесконечно, разница двух методов капитальна.' На базе новой теории меры родилось новое направление в теории функций метрическая теория функций.

#