Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/04.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:59 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:15:53 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Научные направления в математике начала и конца века
Представление о том, какие направления преобладали в математике в начале XX века, дает список секций на Втором парижском математическом конгрессе 1900 года (он оставил особый след в истории математики благодаря тому, что на этом конгрессе Давид Гильберт выступил с докладом о математических проблемах). На этом конгрессе работали четыре основные секции: арифметики и алгебры, анализа, геометрии, механики и математической физики, и еще две: истории и библиографии и преподавания и методологии. Об изменениях, произошедших в математике в XX веке, свидетельствует перечень секций современных конгрессов: математическая логика и основания математики; алгебра; теория чисел; геометрия; топология; алгебраическая геометрия; комплексный анализ; группы Ли и теория представлений; вещественный и функциональный анализ; теория вероятностей и математическая статистика; дифференциальные уравнения с частными производными; обыкновенные дифференциальные уравнения; математическая физика; численные методы и теория вычислений; дискретная математика и комбинаторика; математические аспекты информатики; приложения математики к нефизическим наукам; история математики; преподавание математики. Многие из названных направлений родились или оформились лишь в XX столетии. При этом произошла смена приоритетов. Если до второй мировой войны основным направлением в математике был анализ и его различные ответвления (уравнения математической физики, теория вероятностей, теория функций комплексного переменного), то после войны вкусы многих математиков стали смещаться в сторону топологии, многомерного комплексного анализа, алгебраической геометрии, теории групп Ли и теории представлений и т.п. Самый шумный успех и самые престижные премии в подавляющем большинстве стали получать математики, работающие именно в этих областях. Но эта смена приоритетов произошла в те времена, которые находятся за

пределами избранного нами периода. Какие же новые направления родились в начале нашего века? Прежде всего надо назвать три новые ветви функциональный анализ, топологию и теорию функций. С краткого обсуждения этих направлений начнем наш обзор достижений математики в первой половине нашего столетия.

которой были заложены Гильбертом (19041906). Квадратичная форма
2 Q x1 , x2 = a11 x1 + 2 a12 x1 x2 + a22 x2

c

h

2

после поворота осей приводится к 2 2 диагональному виду 1 y1 + 2 y2 . Гильберт доказал аналог этого утверждения для квадратичной формы
Qx

Функциональный анализ
Одним из важнейших событий развития математики, происходившего в период от начала века до первой мировой войны, было рождение функционального анализа, в котором воссоединились многие концепции классического анализа, линейной алгебры и геометрии. Еще в конце прошлого века были обнаружены аналогии между теорией систем линейных уравнений конечного числа переменных и их бесконечномерных аналогов линейных интегральных уравнений. Решающий сдвиг в теории был сделан Фредгольмом в 1900 году. Интегральное уравнение

c bgh

=

zz
bb aa

K

b g bg bg bt, g = Kb ,tg ,

K t, x t x dt d ,

где аргументом является не вектор х = x1 , x2 , а функция x с интегрируемым квадратом:

c

h

z
b a

bg

x t dt < .

2

bg

Совокупность таких функций была названа гильбертовым пространством (ее обозначают L2 ). Теория квадратичных форм в гильбертовых пространствах явилась математической базой квантовой механики.

x t - K t , x d = y t , (1)
где известная функция, а x искомая, Фредгольм заменил системой линейных уравнений
xi - h
a

bg ybg

z
b

b gbg
n

bg

Рождение топологии
Слово 'топология' относят ныне к двум разделам математики. И изначально для каждого из них имелись свои определения при слове 'топология'. Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, называли долгое время комбинаторной, за другой (у истоков ее были исследования Кантора) закрепилось название общей или теоретико-множественной. Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики (в соответствии с планировкой этой науки, которая была намечена последователями Кантора Гильбертом, Г.Вейлем и др.). Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, к ак 'предел', 'сходимость', 'непрерывность' и т.п. Основы общей топологии в нашем веке были заложены немецким математиком Хаусдорфом, польским математиком Куратовским, знаменитым представителем московской школы П.С.Александровым и другими. Комбинаторная топология это раздел геометрии. Она изучает свойства геометрических фигур, остающихся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Кантор построил взаимно однознач-

bg


j= 0

kij xj = yi ,

(2)

рассмотрев вместо интеграла интегральные суммы:

ti = a + ih , xi = x ti , yi = y ti , kij = K ti , j , 1 i, j n .
Методы решения систем линейных уравнений были разработаны в XVIII веке (о них дается первоначальное понятие в школе, а в полном объеме на начальной стадии обучения в университете). Применив эти методы и перейдя к пределу, Фредгольм нашел условия разрешимости и алгоритмы нахождения решений уравнений (1). Это послужило стимулом к разработке теории, сочетавшей в себе элементы алгебры и геометрии, но в бесконечномерных пространствах. Так родился линейный функциональный анализ. Существенным разделом функционального анализа явилась также теория квадратичных форм, начала

e

j

ch

ch

КВАНT 1999/?1

4