Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/01/kv0199prob.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:24:57 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:54 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: принцип наименьшего действия

ЗАДАЧНИК 'КВАНТА'

по математике и физике
Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 мая 1999 года по адресу: 117296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, 'Квант'. Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе 'Кому' напишите: 'Задачник 'Кванта' ?1 99' и номера задач, решения которых Вы посылаете, например 'М1666' или 'Ф1673'. В графе '... адрес отправителя' фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: 'Задачник 'Кванта', новая задача по физике' или 'Задачник 'Кванта', новая задача по математике'). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М1670М1672 предлагались на XXXIX Международной математической олимпиаде. Задачи Ф1673 Ф1682 (кроме Ф1674) предлагались на первом (заочном) туре V Соросовской олимпиады по физике.

Задачи

Задачи М1666 М167 5 , Ф167 3 Ф168 2
М1666. Три плоскости разрезали куб с ребром 1 на 8
параллелепипедов. Докажите, что среди них найдутся 4 параллелепипеда, объем каждого из которых не превосходит 1/8.

описать окружность тогда и только тогда, когда площади треугольников АВР и CDP равны. (Люксембург)

М1671. На соревновании выступили а участников, их
оценивали b судей, где b нечетное число, не меньшее 3. За выступление участника каждый судья ставил оценку 'плюс' или 'минус'. Число k таково, что для любых двух судей имеется не более k участников, получивших у них одинаковые оценки. Докажите неравенство k b -1 . a 2b (Индия)

Д.Кузнецов

М1667. Натуральный ряд чисел разбит на две бесконечные части. Докажите, что в каждой части можно взять по 100 чисел с равными суммами. В.Произволов воды соответственно. Разрешается доливать в бочку столько воды, сколько в ней уже есть, из любой другой бочки, в которой воды достаточно для такой операции. Какое наибольшее количество воды можно собрать в одной бочке, если а) n = 10; б) n любое число? Р.Женодаров, Г.Челноков

М1668. Имеется n бочек, содержащих 1, 2, ..., n литров

М1672. Пусть d(n) количество всевозможных натуральных делителей числа n, включая 1 и само n. Найдите
все натуральные числа k такие, что либо n.

dn

ej d b ng
2

= k при каком(Белоруссия)

М1669. Натуральные числа a, b и с таковы, что ab + + bc = ca. Докажите равенства
КВАНT 1999/?1

НОК(a, b) = НОК(b, c) = НОК(с, а) (НОК наименьшее общее кратное). В.Произволов

М1670. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагона-

ли АС и BD перпендикулярны, а стороны АВ и CD не параллельны. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и CD пересекаются в точке Р, лежащей внутри ABCD. Докажите, что около четырехугольника ABCD можно

М1673*. Точка равностороннего треугольника соединена отрезками с его вершинами и из нее опущены перпендикуляры на его стороны (рис.1). Названные отрезки разрезали равносторонний треугольник на шесть прямоугольных треугольников красные и синие через один. Докажите, что сумма радиусов окружностей, впи-

Рис.1

14


санных в красные треугольники, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в синие треугольники. В.Произволов

М1674. Функция f(n) определена на множестве натуральных чисел и удовлетворяет условиям

Считайте, что при повышении температуры до +101 њС давление насыщенных паров воды увеличивается от 1 атм до 1,04 атм. Р.Александров

f f n +f n =

Найдите значение f(1999).

R2 c b gh b g |2 S | T

Ф1678. К выводам источника подключают последовательно амперметр и вольтметр, который показывает при этом напряжение 6 В. Когда параллельно ему подключили еще один такой же вольтметр, они в сумме показали 10 В. Подключим параллельно еще очень много таких же вольтметров. Сколько они в сумме покажут? Во сколько раз при этом возрастут показания амперметра? А.Простов

n - 1, если n четное; n + 1, если n нечетное.
В.Кириак

= AD = BD = 3 . Докажите, что его можно разрезать а) на 8; б) на 27 подобных ему и равных между собой тетраэдров. А.Заславский

М1675*. В тетраэдре ABCD: AB = CD = 2, AC = BC =

Ф1679. В вашем распоряжении есть незаряженный

Ф1673. На гладком клине с углом при основании

находится небольшое тело. С каким вертикальным ускорением нужно двигать клин, чтобы тело оставалось на одной и той же высоте? А.Клинов

Ф1674. В системе, изображенной на рисунке 2, ускорения блоков направлены по вертикали, куски нитей также вертикальны. С какими силами приa ходится при этом действовать на блоки? Массы блоков и нитей пренебрежимо малы, нити нерастяжимы. М.Учителев Ф1675. Для съемок очередного фильма Спилберга был изготовлен макет Земли в натуральную величину и с той же массой внутри большого очень легкого пластмассового шара находится тяжелый шар из очень плотного вещества. В результате неточностей при сборке M a центр масс тяжелого шара оказался Рис.2 смещенным в плоскости экватора на расстояние d = 100 км от центра большого шара. Найдите минимальное время оборота спутника, который движется в экваториальной плоскости. З.Рафаилов Ф1676. При изучении падения тел в воздухе были получены любопытные результаты. Металлический шарик падал с установившейся скоростью 100 м/с, шарик вдвое большего диаметра из того же металла падал с установившейся скоростью 140 м/с. К маленькому шарику прикрепили длинную нить, и с таким 'хвостом' он падал с установившейся скоростью 15 м/с. Когда длину 'хвоста' увеличили в два раза, скорость установившегося падения уменьшилась до 9 м/с. Попробуйте оценить скорость падения этого шарика при очень большой длине 'хвоста'. Считайте, что 'хвост' при движении не извивается, а остается вертикальным. Р.Шариков
m

конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U конденсатор емкостью 100 С, катушка индуктивности и полупроводниковый диод (никаких других элементов у вас нет). До какого максимального напряжения можно было бы зарядить конденсатор малой емкости, если бы все эти элементы были идеальными? Как для этого нужно было бы действовать? Можете ли вы придумать больше одного способа? А.Зильберман переключатели (перед замыканием одного из них другой размыкают). Найдите напряжение 'среднего' конC C денсатора после большого C числа переключений. Элементы цепи считайте идеальными. Конденсаторы вначале не заряжены. А.Зильберман Рис.3

Ф1680. В схеме на рисунке 3 поочередно замыкают

Ф1681. На ферромагнитный кольцевой сердечник с
очень большой магнитной проницаемостью намотаны две совершенно одинаковые обмотки катушки индуктивносC тью L каждая. Последовательно с одной из обмоток включа~ ем конденсатор емкостью С, к получившейся последовательной цепочке подключаем параллельно вторую обмотку. Рис.4 При помощи генератора синусоидального напряжения и лампочки накаливания исследуем свойства получившейся схемы (рис.4). Как меняется накал лампочки при изменении частоты генератора? Что изменится, если поменять местами выводы одной из обмоток? З.Рафаилов

Ф1682. В половине шара радиусом R из прозрачного
стекла с коэффициентом преломления n = 2 сделано симметричное сферическое углубление так, что толщина стекла на линии центров сфер составляет R/2 (рис.5). Точечный источник света помещен в точке А (в центре внешней сферической поверхности). Где его видит наблюдатель, глаз котоРис.5

Ф1677. В жестком закрытом литровом сосуде находится 900 г воды; воздуха в сосуде нет. Температура внутри сосуда +100 њС. Содержимому сосуда сообщили 1000 Дж тепла. Оцените количество испарившейся при этом воды.
4*

#


рого находится вдали на линии центров сферических поверхностей? А.Очков

Решения задач М1641, М1646 М1650, Ф1658 Ф1667
М1641. Есть полубесконечная полоска бумаги, разделенная на клеточки с номерами 1, 2, 3, ..., и n камней. На первой клеточке камень лежит всегда. Разрешается положить в клетку камень или убрать камень из клетки, если на предыдущей клетке лежит камень. Как далеко от начала полоски можно положить камень, действуя в соответствии с этим правилом? Докажите, например, что на клетку с номером 2n -1 камень положить можно.

Докажем, что на клетку с номером 2n -1 камень положить можно. Доказательство будет индуктивным. Индукция проводится по числу камней. Случай n = 1 очевиден на первой клетке камень лежит по условию. Пусть можно положить камень на клетку 2n -1 , используя n n камней. Покажем: как добраться до клетки 2 , используя на один камень больше. Все требуемые для этого действия разбиваются на четыре этапа. Этап 1. Без использования дополнительного камня поместим камень на клетку 2n -1 . Этап 2. Дополнительный камень поместим на клетку 2n -1 + 1. Этап 3. Теперь уберем с полоски все камни, кроме самого первого (лежащего на первой клетке) и самого последнего (лежащего на клетке 2n -1 + 1). Это можно сделать, повторяя в обратном порядке действия, совершенные на этапе 1 (разрешенные действия симметричны относительно постановки и снятия камней). Этап 4. Теперь забудем о первых 2n -1 клетках полоски. Повторим все действия этапа 1, считая начальным камень, лежащий на клетке 2n -1 + 1. При этом мы ставим и снимаем камни, освободившиеся на этапе 3. n Последним действием этапа 4 на клетку 2n -1 + 2n -1 = 2 кладется камень, что и требовалось показать. Дальше клетки с номером 2n -1 камень положить нельзя. Доказательство также использует индукцию по числу камней. И в этом случае база индукции очевидна (при n = 1 единственный камень остается на первой клетке по условию). Теперь предположим, что для всех k < n доказываемое утверждение верно, т.е. для того, чтобы положить камень k -1 на клетку с номером большим 2 , нам нужно использовать более k камней. Пусть N максимальный номер клетки, на которую можно положить камень при использовании n камней. Обозначим количество требуемых для этого действий Т, состояние полоски (положения камней, лежащих на ней) после t действий обозначим А(t), наибольший номер клетки, в которой лежит камень после t действий, обозначим N(t) (в этих обозначениях N = N(T)). Из правил, по которым кладутся и снимаются камни, следует, что N(t) 1 N(t + 1) N(t) + 1. Поэтому среди чисел N(t) обязательно встретятся все числа от 1 до N, быть может, не один раз. n-2 Разобьем полоску на две части: клетки от 1 до 2 +1

образуют левую часть, а клетки с номерами, большими n -2 + 1, образуют правую часть. 2 Если N 2 n -2 + 1 (все камни в левой части), то предположение индукции доказано и для n камней. В противном случае найдется такое t0 , что выполнено n -2 n-2 N t0 = 2 + 1 и N(t) > 2 + 1 при t > t 0 . Другими словами, начиная с момента t 0 , в правой части находится хотя бы один камень. Лемма. При t > t 0 в левой части находятся по крайней мере два камня. Доказательство. Камень, стоящий на первой клетке, находится в левой части всегда. Предположим, что в некоторый момент t в левой части не осталось никаких камней за исключением первого. Для t0 t t обозначим через B t - t такое состояние полоски, которое отличается от состояния A(t) тем, что сняты все камни из правой части (а в левой части A(t) совпадает с B t - t ). В состоянии B(0) есть ровно один камень на первой клетке. Переход от состояния B к состоянию B + 1 совершается разрешенным действием (правила обратимы если можно поставить камень, то его можно следующим действием снять, и наоборот). В состоянии B t - t0 на клетке 2 n - 2 + 1 лежит камень. В любом состоянии B(t), 0 t t t 0 , на полоске лежит не более n 1 камня. Действительно, момент t 0 был выбран так, что в любой момент после него в правой части полоски есть хотя бы один камень. При переходе от A t - t к B(t) теряются все камни, оказавшиеся в правой части. Так что в состоянии B(t) по крайней мере на один камень меньше, чем в состоянии A t - t . Таким образом, состояния B(t) n -2 описывают способ положить камень на 2 + 1 клетку, начиная от одного камня на первой клетке и используя не более n 1 камня. Это противоречит предположению индукции. Полученное противоречие доказывает лемму. Теперь забудем о всей левой части полоски, кроме клетки n -2 2 + 1. Как следует из доказанной леммы, от момента t 0 до Т в правой части полоски используется не более n 2 камней. Обозначим через C(t), t 0 t T, такое состояние полоски, которое получается из A(t) сдвигом n -2 влево на 2 и добавлением камня на первую клетку, если его там нет. Состояния от C t0 до C T описывают способ n -2 положить камень на клетку с номером N 2 , начиная от одного камня на первой клетке и используя не более n 1 камня. n -2 В силу предположения индукции N 2 2 n -2 , n -1 поэтому N 2 . Применение принципа математической индукции завершает доказательство. М.Вялый

?D

?

D

?

D

>C

>C D

?

?

D

?

D

?D

>C

М1646. У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у

КВАНT 1999/?1

кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берет себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают когото одного из них. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что в результате все овцы собрались у одного крестьянина. На простых примерах проверяется, что ситуация 7 раскулачиваний в принципе возможна.

16