Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/06/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:35 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:39 2012 Кодировка: Windows-1251

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

57

б) Расстояние между прямыми ВС и KE равно расстоянию от точки С до плоскости KEM, так как прямая ВС параллельна этой плоскости. Вычислим двумя способами объем v пирамиды KEMC: 1 1 v = S1 = hS2 , 3 3 где S1 и S2 площади треугольников KEM и KMC соответственно, a6 1 1 2 . = h = EL L KC, EL | | DF , h = DF = a 3 3 3 9 Так как 2 a3 1 a 19 a 3 3 1 = S1 = KE KM sin = , 2 6 2 2 19 16 2

тем:

и

c

h

S2 =
то

1a 4

2

3 4

=

a

2

3

16

,

. 9 в) Пусть О центр сферы, проходящей через точки А, В, Е и F. Точка О лежит на перпендикуляре к плоскости ABF, проведенном через центр N окружности, описанной около треугольника ABF (см. рис.10). Если R радиус этой окружности, а х радиус сферы, то

=h =

a6

OB = OE = x, R = NF =

AB a = = NA . 2 3 sin 3

Пусть ON = y, ONE = NEL = . Тогда из треугольника ONA по теореме Пифагора имеем 2 a 2 2 x =y + , (1) 3 а из треугольника ONЕ по теореме косинусов находим
x = y + NE - 2 y NE cos ,
2 2 2

10 , x= , 4 < x 5. 3 3 Решение. Область определения неравенства задается условиями 10 3 2 3 x - 22 x + 40 x = 3 x x - x - 4 0, x 4, 3 откуда 10 0x , x > 4. 3 Обозначим 10 f x = 3 x- x-4 . 3 а) Пусть х > 4, тогда f x > 0 . В этом случае исходное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств: 8 2 xf x f x , x f x , 3 x - 23 x + 40 = 3 x - x - 5 0, 3 откуда, учитывая условие x > 4, получаем 4 < x 5 . 10 , тогда х 4 < 0, f x 0 и исходное неб) Пусть 0 x 3 равенство равносильно нераB

3. 0 x

8

Rcos 2x 0, | SsinF 3x + I | GH 2 6 JK | T Rcos 2x < 0, | F 3x I Scos - | GH 2 6 JK | T F GH

sin

F GH

x 2

+

6

I JK I JK

=0

cos

F GH

x 2

-

6

= 0.

Ib JK

g

b g FGH bg bg

Ib JK

g

bg bg

F GH

Ib JK

g

bg

где
tg = NL EL

xf x f x . Зна10 чение x = является реше3
венству нием этого неравенства, а если 0 x <
2

bg bg
10

, NL = NF + FL =

a 3

+

2 3



a 3

=

5a 33

, tg =

5 2

,

D P M

E Q

cos =
Следовательно,

1 3
2

2 3
2

, NE =

EL cos a2 33
.

= a.

, то f x > 0 3 и неравенство примет вид
3 x - 23 x + 40 =

bg

x = y + a - 2ay
Из (1) и (2) находим y = a
2 3

2

(2) .

= 3 x-

F GH

8 3

Ib JK

x - 5 0,

g

A
Рис. 11

C

, x=a

11 6

откуда, с учетом условия 0 x 4.
12 7

10 3

, получаем 0 x

8 3

.

1. 1 - 2; 2 . Указание. Потенцируя, получаем систему

e

j

Вариант 2

,

45 2 28

.
1 3

равносильную данной. Рассмотрите 2 случая: x > 0 4 11 + 2k , x = + 2k , x = 2. x = - + 2 k , x = 9 9 9 k Z. Указание. Уравнение равносильно совокупности из

R5 y - x - 2 = 3b y - xg, | |y - 2 - 4 xy = 3 y x , | S , 0, |y > x x | |yb y - 2 - 4 xyg > 0, T

Решение. Пусть ACB = , тогда tg = 2 2 , cos = , AB = BC = cos 3 а) По свойству биссектрисы в ME = MA откуда ME

,

sin =

22

2

= 6 (рис.11). треугольнике ACE имеем 3 EC =, 4 AC
= 3

и x < 0. 4 + 2k , 3 двух сис-

. 7 AE Из подобия треугольников MEQ и АЕС следует, что 3 MQ ME 12 = = , откуда MQ = . 7 AC AE 7