Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/06/32.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:34 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:02 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п р п р п р п р п р п п р п п р п

'Среди всех проблем, рассматриваемых в математике, нет таких, которые считались бы в настоящее время более бесплодными и лишенными приложений, чем те, которые состоят в изучении природы числа и исследования делителей В этом отношении нынешние математики сильно отличаются от древних, придававших гораздо большее значение исследованиям подобного рода А именно, они не только считали, что отыскание истины похвально само по себе и достойно человеческого познания, но, кроме того, совершенно справедливо полагали, что при этом замечательным образом развивается изобретательность и перед человеческим разумом раскрываются новые возможности решать сложные задачи' Леонард Эйлер. О дружественных числах (1849).

КАЛЕЙДОСКОП

Узы дружбы в
всевозможных отношений. Мы сравниваем числа по величине, по принадлежности их к тем или иным классам (четных, простых, удовлетворяющих определенным уравнениям и т.п.). Ряд любопытных отношений связан с собственными делителями натуральных чисел. Напомним, что к собственным делителям натурального числа относятся лишь те делители, которые отличны от него самого, например, собственные делители числа 6 это 1, 2, 3. Назовем число а приветливым к числу b, если сумма собственных делителей а равна числу b. Так, число 16 приветливо к числу 15, потому что 1 + 2 + 4 + 8 = 15, а 15 уже не приветливо к 16, потому что 1 + 3 + 5 = 9 16. На рисунке 1 показана схема приветливости некоторой группы чисел. Рассматривать (и рисовать) подобные
% ! "# !! # ' " # ! & # '
Рис. 1

В

МИРЕ ЧИСЕЛ СУЩЕСТВУЕТ МНОЖЕСТВО

Арабский математик Сабит ибн Курра (836 901) придумал следующий способ получения дружественных чисел. Если числа р, q и r простые нечетные числа вида р = 3 2k -1 1, k 2 k -1 1, то числа m = 2k pq q = 3 2 1, r = 9 2 k и n = 2 r дружественные. При k = 2 по рецепту Сабита ибн Курры получаются дружественные числа 220 и 284, при k = 4 пара дружественных чисел 17296 и 18416, а при k = 7 дружественные числа 9363584 и 9437056. Дальнейшие попытки найти этим способом дружественные пары, перебирая значения k от 8 до 20000, к успеху не приводят.

# "$ &%

&$

$ $ '# # $

Один из первых способов получения совершенных чисел придумали пифагорейцы. В IX книге евклидовых 'Начал' он формулируется так: 'Если от единицы откладывать сколь угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их совокупность сложенная не сделается первым (т.е. простым Прим.ред.) числом и вся совокупность, умноженная на последнее число, произведет что-то, то возникающее число будет совершенным'. В современной терминологии, k -1 k- k k- 2 число 1 + 2 + 2 + K + 2 2 1 = 2 - 1 2 1 явk ляется совершенным, если число 2 1 простое. Этот факт получается из аккуратного подсчета суммы собственных делителей числа 2k - 1 2k -1 . Справедлив и более общий факт: четное число совершенно тогда и только тогда, когда оно имеет вид k 2k - 1 2k -1 , где 2 1 простое число.

схемы порой бывает так же интересно и увлекательно, как и рассматривать географические атласы. Каждое число на этой схеме, за исключением 1, приветливо к какомунибудь другому числу. Числа 2, 5 не вызывают симпатий ни у кого (интересно, имеются ли еще и другие 'несимпатичные' числа?), а вот число 6 приветливо к самому себе: 1 + 2 + 3 = 6. Числа, приветливые к самим себе, в математике получили название совершенных. Они цени-

e

j

e

j

e

j

e

j

'Работы, посвященные нечетным совершенным числам, напоминают охоту за призраком: никто никогда его не видел, но проведено много остроумных исследований того, как он не может выглядеть' Вальтер Боро, современный немецкий математик