Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/06/kv0699kaleid.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:35 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:34:38 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: 3

'Среди всех проблем, рассматриваемых в математике, нет таких, которые считались бы в настоящее время более бесплодными и лишенными приложений, чем те, которые состоят в изучении природы числа и исследования делителей В этом отношении нынешние математики сильно отличаются от древних, придававших гораздо большее значение исследованиям подобного рода А именно, они не только считали, что отыскание истины похвально само по себе и достойно человеческого познания, но, кроме того, совершенно справедливо полагали, что при этом замечательным образом развивается изобретательность и перед человеческим разумом раскрываются новые возможности решать сложные задачи' Леонард Эйлер. О дружественных числах (1849).

КАЛЕЙДОСКОП

Узы дружбы в
всевозможных отношений. Мы сравниваем числа по величине, по принадлежности их к тем или иным классам (четных, простых, удовлетворяющих определенным уравнениям и т.п.). Ряд любопытных отношений связан с собственными делителями натуральных чисел. Напомним, что к собственным делителям натурального числа относятся лишь те делители, которые отличны от него самого, например, собственные делители числа 6 это 1, 2, 3. Назовем число а приветливым к числу b, если сумма собственных делителей а равна числу b. Так, число 16 приветливо к числу 15, потому что 1 + 2 + 4 + 8 = 15, а 15 уже не приветливо к 16, потому что 1 + 3 + 5 = 9 16. На рисунке 1 показана схема приветливости некоторой группы чисел. Рассматривать (и рисовать) подобные
% ! "# !! # ' " # ! & # '
Рис. 1

В

МИРЕ ЧИСЕЛ СУЩЕСТВУЕТ МНОЖЕСТВО

Арабский математик Сабит ибн Курра (836 901) придумал следующий способ получения дружественных чисел. Если числа р, q и r простые нечетные числа вида р = 3 2k -1 1, k 2 k -1 1, то числа m = 2k pq q = 3 2 1, r = 9 2 k и n = 2 r дружественные. При k = 2 по рецепту Сабита ибн Курры получаются дружественные числа 220 и 284, при k = 4 пара дружественных чисел 17296 и 18416, а при k = 7 дружественные числа 9363584 и 9437056. Дальнейшие попытки найти этим способом дружественные пары, перебирая значения k от 8 до 20000, к успеху не приводят.

# "$ &%

&$

$ $ '# # $

Один из первых способов получения совершенных чисел придумали пифагорейцы. В IX книге евклидовых 'Начал' он формулируется так: 'Если от единицы откладывать сколь угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их совокупность сложенная не сделается первым (т.е. простым Прим.ред.) числом и вся совокупность, умноженная на последнее число, произведет что-то, то возникающее число будет совершенным'. В современной терминологии, k -1 k- k k- 2 число 1 + 2 + 2 + K + 2 2 1 = 2 - 1 2 1 явk ляется совершенным, если число 2 1 простое. Этот факт получается из аккуратного подсчета суммы собственных делителей числа 2k - 1 2k -1 . Справедлив и более общий факт: четное число совершенно тогда и только тогда, когда оно имеет вид k 2k - 1 2k -1 , где 2 1 простое число.

схемы порой бывает так же интересно и увлекательно, как и рассматривать географические атласы. Каждое число на этой схеме, за исключением 1, приветливо к какомунибудь другому числу. Числа 2, 5 не вызывают симпатий ни у кого (интересно, имеются ли еще и другие 'несимпатичные' числа?), а вот число 6 приветливо к самому себе: 1 + 2 + 3 = 6. Числа, приветливые к самим себе, в математике получили название совершенных. Они цени-

e

j

e

j

e

j

e

j

'Работы, посвященные нечетным совершенным числам, напоминают охоту за призраком: никто никогда его не видел, но проведено много остроумных исследований того, как он не может выглядеть' Вальтер Боро, современный немецкий математик


' КВАНТА'

мире чисел
лись и почитались в старину. Например, в Древнем Риме существовал обычай отводить на пирах шестое место самым знатным и почетным гостям. К совершенным числам относятся 28, 496, 8128 и другие. В наше время поиском больших совершенных чисел занимаются компьютеры.

Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа. По крайней мере, среди первых 1050 чисел нечетных совершенных чисел нет. Если нечетное совершенное число существует, то оно должно содержать по меньшей мере 6 различных про2 2 2 стых делителей и иметь вид n = p 4 r +1q1 s1 q2 s2 ... qmsm , где р простое число вида 4k + 1, а q1, q2, ..., qm произвольные простые нечетные числа. При этом если все sk, кроме s1, равны 1, то s1 2, а если все sk, кроме s1 и s2, равны 1, то s1 2 и s2 2 . Не может быть и того, что все sk = 2. Если наименьший из простых делителей числа n равен t + 1, то это число должно иметь по крайней мере t простых делителей.

"'$ " $" "#!$ " && #"%
В старину дружественные числа служили для изготовления талисманов, якобы сохраняющих и укрепляющих дружбу. Мадридский ученый аль-Маджрити (ум. 1007) в своем трактате 'Цель мудреца' приводит 'чудодейственный рецепт', позволяющий добиться взаимности в любви. Оказывается, для этого достаточно записать на чем-либо числа 220 и 284, меньшее дать съесть предмету страсти, а большее съесть самому

Рис. 2

Существуют ли два числа, приветливых друг к другу? Да, например числа 220 и 284 (пожалуйста, проверьте) они были известны еще Пифагору. По свидетельству неопифагорейца Ямвлиха из Хальциса (III в.), великий Пифагор на вопрос, кого следует считать своим другом, ответил: 'Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284'. Два натуральных числа а и b называются дружественными, если а приветливо к b, а b приветливо к а. В мире чисел существуют и более причудливые связи. Если в схеме приветливости обнаруживается 'хоровод', в котором кружится более чем два числа, то такие числа называются общительными. На рисунке 2 показан 'хоровод', объединяющий пять общительных чисел, а вокруг текста на этой странице водят 'хоровод' аж 28 общительных чисел'! Существуют ли более крупные 'хороводы'? Неизвестно. На схему приветливости можно взглянуть и по-другому: как на систему 'рек', впадающих в более крупные 'русла' и 'водосборы'. Такие ассоциации вызывает рисунок 1: в пунктах, обозначенных числами 15, 21, 46, 33, сливаются русла нескольких 'речушек' соответствующих цепочек чисел. Существуют ли 'реки', берущие начало в некотором числе и устремляющиеся в бесконечность? Это один из вопросов, на которые пока нет ответа. А.Жуков

Удивительные числовые 'раскопки' провел в 17471750 гг. Леонард Эйлер. Придумав несколько оригинальных числовых методов, он подарил изумленным современникам сразу 61 пару дружественных чисел, причем среди найденных им чисел оказались и нечетные, например 69615 и 11498355, 87633 и 12024045.

Пары дружественных чисел в пределах 100 000: 220 284 1184 1210 2620 2924 5020 5564 6232 6368 10744 10856 12285 14595 17296 18416 63020 76084 66928 66992 67095 71145 69615 87633 79750 88730 Любопытно, что в 1866 году 16-летний итальянец Н.Паганини (однофамилец великого скрипача) нашел пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающиеся математики, проглядели! Дружественные числа скрывают множество загадок. Каков общий закон образования таких чисел? Существуют ли среди дружественных чисел смешанные пары, в которых одно число четное, а другое нечетное? Сколько всего дружественных чисел? Конечно их количество или бесконечно? На эти и другие вопросы