Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/05/31.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:27 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:12:59 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

31
при любом конечном значении у (см. сплошную кривую на рисунке 1,а). Получается, что мы все время будем двигаться вверх, правда все медленнее, но нигде не останавливаясь. В итоге зависимость высоты от времени будет иметь вид сплошной кривой на рисунке 1,б. Вспомним, однако, что плотность атмосферы уменьшается с высотой; значит, будет уменьшаться и сила Архимеда, так что рано или поздно мы вернемся на землю. Кроме того, при очень малых скоростях изменится закон сопротивления воздуха. Сила станет пропорциональной уже первой степени скорости и так называемой вязкости воздуха, которой мы до сих пор пренебрегали. Но это произойдет при скоростях движения порядка микрометров в секунду. Эта численная оценка получается в предположении абсолютно спокойной атмосферы, а так не бывает. Воздух постоянно находится в движении (горизонтальный ветер, вертикальные перемещения теплого воздуха вверх и холодного вниз так называемая конвекция). Эти крупномасштабные движения сопровождаются мелкими завихрениями (турбулентностью), в результате чего вязкость движущегося воздуха гораздо больше, чем спокойного, и к тому же непостоянна в пространстве и во времени. Все эти явления наши вдумчивые читатели смогут учесть в дальнейшем в своих научных работах. А сейчас, чтобы нам уверенно вернуться вниз, надо отказаться от точного уравновешивания силой Архимеда суммарной силы тяжести своего тела и шара и положить в карман хотя бы спичечный коробок или лучше бутерброд (водород горюч!). Этот небольшой перегрузок позволит кривой v y пересечь ось у на некоторой высоте Н, превосходящей заданную высоту (например, здания МГУ на Воробьевых горах); значит, начнется движение вниз (штрих-пунктирные линии на рисунке 1). А легкий ветерок перенесет нас через дом, реку, лес Это уже похоже на приятный прыжок во сне. Так что прыгайте на здоровье!

что наш шарик не деформируется, эта присоединенная масса оказывается в точности равной половине массы воздуха в объеме шарика: m& = 0V 2 . Таким образом, желающему подпрыгнуть вместе со всем этим устройством нужно будет ускорить суммарную массу m = m0 + mV + mS + m& . Это явно не легче. Да еще придется преодолевать силу сопротивления воздуха шарику, которой теперь уже никак пренебречь нельзя. Эта сила сопротивления пропорциональна площади поперечного сечения шарика, плотности воздуха и квадрату скорости движения. Это легко устанавливается из соображений размерности, а безразмерный коэффициент пропорциональности можно измерить экспериментально. В результате получим 22 Fc = 0 r v 4 (проверьте, по крайней мере, размерность). И конечно, надо добавить еще подъемную силу Архимеда, равную 0Vg . Итак, запишем закон движения (второй закон Ньютона) прыгуна в воздухе: ma = - m 0 + mV + m S g + 22 + 0Vg - 0 r v . (1) 4 Но, подобно ситуации с Винни-Пухом, в состоянии покоя, когда скорость и ускорение равны нулю, сила Архимеда должна уравновешивать силу притяжения Земли, так что уравнение (1) примет вид

Если предположить, что в любом случае прыгун располагает одним и тем же запасом энергии

1 2

m0 v0 =

2

1 2

mv1 ,

2

то в момент отрыва от земли будет достигнута явно меньшая скорость (см. рис.1,а):
v1 = v m
0 0

m

< v0 .

И даже меньшая этой, если учесть еще и затраты энергии на преодоление сопротивления воздуха в процессе распрямления. И вот мы оттолкнулись от земли и движемся вверх. В уравнении движения осталась только сила сопротивления воздуха:

ma = -

4

0r v .

22

(2)

?

D

Но что такое ускорение? Это изменение v . А что скорости со временем: а = t такое скорость? Это изменение перемеy щения со временем: v = . Отсюда t для ускорения получим выражение

a=v

v y

.

Подставим его в уравнение (2) и сократим на v:
v y =- 0r 4 m
2

v.

4 3

r 0 - V = m0 + 4 r

3

?

D

2

(любопытно, что при этом условии суммарная инертная масса, которая будет играть роль при ускоренном движении, становится равной 3m& ). Если заданы m0 и , получаем кубическое уравнение для определения радиуса шара (желающий да решит его). В частности, отсюда легко найти наименьшее значение этого радиуса. Предположим, что оболочка невесома: = = 0. Тогда
rmin =
3

Можно переписать это уравнение так, чтобы обе его части стали безразмерными: v y =- , (3) v y& где величина y& =
2 имеет, очевид0 r но, размерность длины. И очевидно, что это не случайный масштаб: он характеризует темп изменения скорости с расстоянием. На этом расстоянии скорость заметно изменяется например, в два раза; точнее, в три раза; еще точнее, в 2,7 раза. Но сейчас это не столь важно. Можно проанализировать уравнение (3) и не решая его. Прежде всего видно, что скорость убывает с высотой: об этом говорит знак 'минус'. Далее видно, что эта убыль скорости тем меньше, чем меньше сама скорость. Когда же скорость стремится к нулю, то и ее 'приращение' (отрицательное) тоже стремится к нулю. Значит, график v y подходит к оси у все ближе, никогда не достигая ее

4m

>C

4 0 - V

?

3m

0

D

.

Принимая массу школьника или студента (перед обедом) m0 = 50 кг, а 3 плотность воздуха 0 = 1 кг м , получим

rmin 2,3 м .
Очевидно, что для подъема весомой оболочки придется увеличить объем шара, добавив еще легкого газа.
8*

>C