Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/61.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:22 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:27 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

61

2В, равна 2х. Пусть теперь дробные части чисел А и В лежат в одном интервале; рассмотрим пары 2А и 2В, 4А и 4В и т.д. Из сказанного выше следует, что на некотором шаге одна из 1 дуг, соединяющих дробные части пары, станет больше , но 3 2 меньше . Значит, эти дробные части принадлежат разным 3 интервалам окружности. n Применяя эти рассуждения к числам А = 2 0 lg 2 и В =
0 lg 2 , где n0 некоторое фиксированное натуральное =2 число, получаем противоречие с предположением о периодичности. n +k

Избранные задачи Московской физической олимпиады1999года
ПЕРВЫЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

туры T3 , идет на нагрев фарфоровой чашки от комнатной температуры Tк до температуры T3 , на нагрев мороженого от температуры T2 до температуры T0 = 0 њС, на его плавление и дальнейший нагрев от температуры T0 до температуры T3 , а также на нагрев серебряной ложки. Ложка, в соответствии со сказанным, может помещаться в мороженое и в кофе по нескольку раз. Это означает, что нагрев ложки каждый раз происходит на разное количество градусов, потому что мороженое понемногу нагревается от горячей ложки, а кофе понемногу остывает при погружении в него ложки. Чтобы не рассматривать весь процесс детально (ведь мы ищем оценку), предположим, что ложка погружается в мороженое один раз и нагревается на некоторую среднюю разность температур кофе и мороженого Tср 80 њС. Учитывая все это, получаем оценку для массы мороженого:
m2 47 г . Легко показать, что ложечка слабо влияет на процесс охлаждения кофе, так как для ее нагрева нужно затратить очень небольшое количество энергии. Понятно также, что оценка средней разности температур Tср и числа порций мороженого практически не влияет на ответ.

8 класс
1. Пусть после того, как на поршень массой M1 положили груз массой m, этот поршень опустился на h1 , а второй поршень поднялся на h2 относительно начального положения. При этом перепад уровней жидкости в сосудах будет равен h1 + h2 , а разность давлений, создаваемая этим перепадом, будет компенсироваться добавочным давлением, которое создает груз массой m, лежащий на первом поршне:
mg , S1 где S1 площадь первого поршня. Так как объем жидкости под поршнями не изменился, справедливо соотношение g h1 + h2 = S1 h1 = S2 h2 ,

b

g

где S2 площадь второго поршня. Из этих уравнений получаем m h2 = = h. S1 + S2 Пусть теперь груз положили на поршень массой M 2 . Проводя аналогичные рассуждения, можно честно найти высоту, на которую при этом поднимется поршень массой M1 . Однако, зная выражение для h2 , ответ можно просто угадать. Действительно, в рассматриваемой системе все равно, какой поршень считать 'первым', а какой 'вторым'. Значит, для того чтобы получить ответ, можно просто перенумеровать все величины в последней формуле, т.е. заменить все индексы '1' на индексы '2' и наоборот. В итоге получим m h1 = = h2 = h , S2 + S1 т.е. поршень массой M1 поднимется относительно начального положения на ту же самую высоту h. 2. Прежде всего нужно придумать модель, которую можно применить для описания процесса охлаждения кофе при помощи мороженого. Предположим, что мороженое по своим свойствам близко ко льду и что для охлаждения кофе до требуемой температуры в него нужно будет положить мороженое ложечкой несколько раз. Будем считать, что при соприкосновении с мороженым ложечка охлаждается до температуры брикета, а при опускании в кофе нагревается до температуры напитка. Теперь можно пытаться решить задачу 'в лоб', определяя температуру кофе после погружения в него каждой очередной порции. Однако в задаче не спрашивается, сколько ложек мороженого нужно положить в кофе, а требуется лишь оценить необходимую массу мороженого. Поэтому сначала решим задачу в первом приближении. Запишем уравнение теплового баланса для системы, состоящей из чашки, ложки, кофе и мороженого. Энергия, выделяющаяся при охлаждении кофе от температуры T1 до темпера-

- = 4,7 кг . 2aH 2. Пусть в некоторый момент времени шарик имел радиус R и площадь поверхности S, а за маленький промежуток времени t радиус шарика (вследствие коррозии) уменьшился на R . Тогда объем растворенного за это время алюминия будет равен SR , а его масса SR . С другой стороны, масса растворенного за время t алюминия равна St , где = 2 -4 = 10 г (см ч) масса металла, растворяющегося за один час с одного квадратного сантиметра поверхности. Приравняем полученные выражения:

1. M = m

F GG H

L

2

I 1J JK

9 класс

d

i

SR = St и найдем скорость уменьшения радиуса шарика: R =. t
Мы видим, что радиус шарика уменьшается с постоянной скоростью. Ясно, что шарик растворится полностью тогда, когда изменение его радиуса станет равно половине начального диаметра. Тогда из последней формулы получаем d = 13500 ч = 562,5 сут ( 18,5 месяцев). t= 2

d

i

10 класс
1. Для упрощения рассмотрим два двигателя, находящихся по разные стороны от оси корабля, вокруг которой происходит вращение (ясно, что наличие двух остальных симметрично расположенных двигателей не повлияет на результат). Понятно, что маневр должен совершаться следующим образом: сначала двигатели разгоняют вращение корабля вокруг оси, а когда он повернется на 90њ, они должны начинать тормозить корабль так, чтобы он, повернувшись еще на 90њ, остановился. Так как двигатели развивают постоянную силу тяги, времена разгона и торможения одинаковы. Таким образом, чтобы решить задачу, нам достаточно найти время разворота на 90њ. При развороте двигатели перемещаются по дугам окружности. Так как силы, возникающие при работе двигателей, направлены по касательной к этой окружности, тангенциальное ускорение каждого двигателя равно a = F/m, где F сила тяги, m масса. При повороте на 90њ двигатель проходит путь s, равный четверти длины дуги окружности. Из кинема2 тики имеем s = r 2 = a t 2 , где r радиус дуги окружности. Подставляя в эту формулу выражение для a , найдем