Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/51.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:21 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:24 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п

ОЛИМПИАДЫ

51
7. В некоторых клетках бесконечной клетчатой доски стоят фишки. Расстановка фишек называется почти плотной, если в каждом квадрате n Ч n не более 10n пустых клеток (для любого n). Докажите, что существует такое d, что в любой почти плотной расстановке можно заполнить все клетки, сдвинув каждую фишку на расстояние, меньшее d. (11) М.Вялый, А.Канель Публикацию подготовил Г.Челноков

площади S2 , причем точка B3 удалена от стороны A1 A2 не дальше, чем точки B1 и B2 . Обозначим через S площадь шестиугольника A1 B3 A2 B1 A3 B2 . Докажите, что (9, 10)
n

SS2 S 2 S1 S2 . 1

В.Кириченко

5. Укажите такую рациональную функцию с целыми коэффициентами, область значений которой отрезок 2 ; 2 (функция должна быть определена на всей вещественной прямой). (11) В.Сендеров 6. Противоположные стороны четырехугольника АВСD продлены до пересечения в точках М и N. Из точки пересечения диагоналей О на прямую MN опущен перпендикуляр, пересекающий эту прямую в точке Р. Докажите, что углы АРО и ОРС равны. (11) А.Заславский

4. 2 человек хотят разыграть кубок по олимпийской системе, причем для каждой пары заранее известно, кто выигрывает. Докажите, что можно так составить расписание, что человек, выигрывающий у наибольшего числа людей (если такой есть), выиграет кубок. (10)

Избранные задачи Московской физической олимпиады1999 года
Первый теоретический тур

8 класс
1. Система из двух сообщающихся вертикальных цилиндров, заполненных жидкостью плотностью , закрыта поршнями, массы которых M1 и M2 . В положении равновесия поршни находятся на одной высоте. Если на поршень массой M1 положить груз массой m, то поршень массой M2 поднимется после установления равновесия на высоту h относительно начального положения. На какую высоту поднимется относительно начального положения равновесия поршень массой M1 , если груз массой m переложить на поршень массой M2 ? О.Шведов 2. В фарфоровую чашку массой mф = = 100 г, находящуюся при комнатной температуре Tк = +20 њС, наливают m1 = 150 г горячего кофе при температуре T1 = +90њ. Затем достают из холодильника брикет мороженого, имеющий температуру T2 = 12 њС, и серебряной ложкой, масса которой mл = = 15 г, кладут понемногу мороженое в кофе, каждый раз размешивая его. Так поступают до тех пор, пока не установится температура T3 = +45 њС, когда кофе приятно пить. Оцените, сколько грамм мороженого надо положить для этого в кофе. Потерями тепла пренебречь. Считать известными удельные теплоемкости воды cв = 4,2 Дж г њ С , льда сл = 2,1 Дж г њ С , серебра

сc = 0,23 Дж г њ С , фарфора сф = = 0,8 Дж г њ С и удельную теплоту плавления льда = 340 Дж/г. М.Семенов

>

>

C

C

на концах консолей одинаковых ракетных истребителя спереди рисунке 1). Одним

расположены 4 двигателя (вид изображен на из пилотажных

9 класс
1. У квадратного стола со стороной L = 1 м и высотой Н = 1 м одна ножка на а = 3 см короче остальных, и стол может качаться. Если поставить стол ровно, то он стоит, но достаточно легкого толчка, чтобы он накренился на короткую ножку. Для того чтобы после этого стол вернулся в первоначальное положение, нужно положить на угол, противоположный короткой ножке, грузик массой m = 300 г. Найдите массу крышки стола, пренебрегая массой ножек. Считать ножки тонкими и расположенными по углам крышки стола. А.Андрианов 2. Сплошной шарик из алюминия диаметром d = 1 см бросили в 50процентный раствор азотной кислоты. В данных условиях с одного квадратного сантиметра поверхности -4 растворяется 10 г алюминия в час. Через какое время шарик полностью растворится в кислоте? Плотность алю3 миния = 2,7 г см . С.Варламов

A

Б
Рис. 1

маневров такого истребителя является быстрый разворот на 180њ, когда два соседних двигателя работают на 'полный вперед', а два остальных на 'полный назад' с такой же тягой. Вокруг какой оси А или Б нужно совершать такой разворот, чтобы он занял меньше времени? Считать, что практически вся масса истребителя сосредоточена в его двигателях и что сила тяги не зависит от скорости. Маневр F совершается в открытом космосе. А.Андрианов A 2. В системе, изображенной на рисунке 2, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. Массы грузов равны m1 и m2 . Найдите уско-

10 класс
1. Согласно сериалу 'Звездные войны', космические истребители земного флота имеют форму косого креста, где

>

C

>

C

m m
Рис. 2