Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:21 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:26 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: saturn

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

57

3. а) Указание. Нетрудно видеть, что данное равенство равносильно тому, что 1 1 arctg + arctg = . 2 3 4 б) Указание. Искомое множество есть объединение биссект рис координатных углов. в) . Указание. Докажите по ин2 дукции, что сумма первых n слагаемых в данной бесконечной сумме равна arctg n . 1 3 . Указание. Учтите, что имеются два различ4. а, б) 12 ных варианта расположения единичных ребер! в) См. задачу 6 в статье.

Следовательно, число точек до уплотнения можно найти, прибавив к числу точек после уплотнения единицу и поделив пополам. Таким образом, до последнего уплотнения было (113 + 1)/2 = 57 точек, до второго (57 +1)/2 = 29 точек и в самом начале (29 + 1)/2 = 15 точек. 2. Для начала разложим 420 на множители:

Разные задачи
1. а) (х, у) = (1998, 0); (0, 1998); (888, 222); (222, 888). Указание. Из равенства y = 1998 x получаем, что у = = 1998 + х 2 1998 x , откуда следует, что число 1998х должно быть полным квадратом. б) (x, y, z) = (222, 222, 222). Указание. Докажите вначале следующее утверждение. Лемма .Если a, b, u, v N и a u + b v N , то u ,
v N. 2. а) Только равносторонние треугольники. б) Указание. Решение очевидно, если использовать такое 'геометрически

420 = 6 7 10 = 2 2 3 5 7 . Теперь уже несложно сгруппировать эти множители в пять групп так, чтобы в сумме получилось 20: 7 5 3 4 1 = 420 ; 7 + 5 + 3 + 4 + 1 = 20 . 3. Заметим для начала, что белых клеток должно быть втрое больше черных, так что белых будет 12, а черных 4. После этого легко нарисовать требуемую картинку (рис.5).

очевидное' утверждение. Если a1 a2 K a n и


i =1

n -1

Рис. 5

Рис. 6

ai an ,

то существует замкнутая выпуклая ломаная, длины звеньев которой равны a i . Попробуйте A D дать какое-нибудь K обоснование этого Рис. 4 утверждения. в) Квадраты и только они. Указание. Нетрудно видеть, что если углы четырехугольника образуют арифметическую прогрессию, то он трапеция. Далее, если и длины его сторон образуют арифметическую прогрессию, то KD = |CD CK| (обозначения на рисунке 4, отрезок CK параллелен стороне АВ), откуда следует, что K = D, т.е. этот четырехугольник является прямоугольником.

B

C

4. Вертолет летит на юг по московскому меридиану, затем по параллели, потом снова по меридиану на север, а затем по более северной параллели. Так как все меридианы одинаковы, широта вертолета не изменится (сколько градусов он пролетел на юг, столько же он пролетит и на север). А параллели разные: чем севернее, тем короче, так что на северной параллели те же 300 км составят большее число градусов. Значит, вертолет окажется восточнее Москвы на той же широте. 5. Удобно сначала нарисовать перРис. 7 пендикулярные медианы треугольника, а потом уже вершины. На рисунке 6 показан один из возможных вариантов. 6. См. рис.7.

q 1 1 - 4 0 R1 R2 R2 -1 2. q1 = - q R , q2 R2 -1 R1 R 3. Q = - q при l > l R 4. Q = - q1 + q2 . l2

1. 1 =

FG H

Задачиспроводящимисферами

7 класс
1. Ответ: 25/76. Сумма числителя и знаменателя равна 101. Значит, чем больше числитель дроби, тем меньше ее знаменатель и тем больше сама дробь. Видно, что 25/76 еще меньше 1/3, а 26/75 уже больше. 2. См. рис.8. 4. Ответ: рассвет был в 6 часов утра. 6. См. задачу 4 раздела 'Квант' для младших школьников' в этом номере журнала. 1. Рассмотрим числа

IJ K

; уменьшится на W =
1- 1- R1 R. R1 R2

q2 . 8 0 R2

= -q

F GH

I JK

R, Q = q при l < R. 5. QR = -
q 4

, Q3

R

=

q 4

.

Рис. 8

LXII Московская математическая олимпиада
ГОРОДСКАЯ ОЛИМПИАДА

8 класс
1 111111
2 , 1- z = 222223

6 класс
1. Ответ: изначально было отмечено 15 точек. Если (до уплотнения) было отмечено n точек, то после уплотнения будет отмечено 2n 1 точек (из которых n старых и n 1 новая).

1- x =

, 1- y =

3 333334

,