Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/55.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:21 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:16:25 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 101

О Т В Е О ТЫ Е Т В,

ТЫ,

УК З АН Я У К А А ЗА Н ИИ ,Я Р ,

ЕШЕНИЯ

РЕШЕНИЯ
КОНКУРС 'МАТЕМАТИКА 68'

55

'Квант' длямладшихшкольников
ЗАДАЧИ

(см. 'Квант' ?3) 1. Пусть первоначально на столе лежало N конфет, и пусть первые несколько (не уточняем, сколько именно) мальчиков взяли себе в общей сложности k конфет. Тогда на столе осталось (N k) конфет. Сколько конфет получит очередной мальчик? Десятая часть остатка это (N k)/10 конфет, и еще десятая часть того, что взяли себе предыдущие мальчики, это k/10 конфет. Всего это составляет (N k)/10 + +k/10 = N/10 конфет. Таким образом получается, что каждый мальчик независимо от очередности получил десятую часть всех конфет. Поскольку в один прекрасный момент конфеты кончились, то мальчиков было 10. Ну, а досталось всем поровну, и никто не в обиде. 2. Дедушка прав. Если кастрюля удерживается на столе, сдвинем ее дальше от центра стола так, чтобы центр тяжести кастрюли в точности приходился на край стола. Очевидно, что и в этом случае кастрюля еще удержится на столе. На рисунке 1 показано, что центр кастрюли находится в вершине правильного шестиугольника, вписанного в B границу круглого стола. Так как радиус стола OO равен длине отрез1 ков ОА и ОВ, а диаметр кастрюли меньше диаметра стола, то край каO O стрюли пересекает оба эти отрезка. Сектор, высекаемый этими отрезками на дне кастрюли, по A площади в точности раРис. 1 вен 1/3 площади дна. Можно сделать вывод, что в крайнем положении, когда кастрюля еще удержится на столе, она соприкасается с плоскостью стола по площади, большей 1/3 площади своего дна. Значит, если бабушка поставит кастрюлю так, как она хочет, то кастрюля на столе не удержится. 3. Можно. Сто первых натуральных чисел распадаются на 50 пар так, что в каждой паре сумма чисел равна 101. Пусть среди 25 зачеркнутых чисел нашлось k полных пар, а остальные 25 2k из них присутствуют без парных. К этим непарным 25 2k числам добавим 25 2k чисел, дополнительных к каждому из них до пары, и зачеркнем их. Еще зачеркнем k пар чисел среди незачеркнутых получим всего 25 полных пар чисел, что составляет половину суммы всех натуральных чисел от 1 до 100. 4. В послании зашифрована фраза: 'Жил-был у бабушки серенький козлик...'. 5. Если царь лжец, а все его подданные рыцари, гибельной могла оказаться фраза 'Царь рыцарь'. Передавая ее из уст в уста, рыцари гибнут, последний же перед смертью повторяет ее царю. Предположим, что царь на самом деле рыцарь. Если бы к тому же все его подданные были рыцарями, то все они говорили бы друг другу только правду, и никаких катаклизмов в государстве не произошло бы. Покажем, что если среди подданных имеется один лжец, то ситуация, описанная в условии задачи, реализуется. Если царь скажет лжецу: 'В государстве имеется один лжец', то после произнесения этой фразы лжецом тот станет рыцарем, а сама фраза ложной. Далее схема гибели повторяет предыдущую.

(см. 'Квант' ?1) 16. Поскольку в натуральном ряду числа, кратные 2, встречаются чаще, чем числа, кратные 5, то число нулей, которыми оканчивается факториал n! = 1 2 3 K n , равно количеству пятерок в разложении n! на простые множители. Пусть n! наименьший из факториалов, оканчивающийся ровно m нулями. Тогда n делится на 5 (в противном случае еще меньший факториал (n 1)! оканчивался бы таким же количеством нулей). Заметим, что если n делится на 5, но не 2 делится на 5 = 25, то разложение числа (n 1)! на простые множители содержало бы на одну пятерку меньше, и потому число (n 1)! оканчивалось бы ровно m 1 нулями, что противоречит условию. Итак, n делится на 25. Но тогда число n + 5 не делится на 25, хотя делится на 5, и, следовательно, в разложении числа (n + 5)! на простые множители содержится на одну пятерку больше, чем в разложении n!. Следовательно, факториал, оканчивающийся m + 1 нулями, существует. 17. Из равенства x2 + y2 + z 2 = x1 + x 2 + x3 выразим переменную z 2 через остальные переменные: z 2 = x1 + x 3 y2 . Аналогично, из равенства y1 + y2 + y 3 = x1 + y1 + z 1 выражаем переменную y 3 = x1 + z 1 y2 ; из равенства y1 + y2 + + y 3 = x 3 + y 3 + z 3 выражаем переменную y1 = x 3 + z 3 y2 , а из равенства x2 + y2 + z 2 = z 1 + z 2 + z 3 переменную x2 = z 1 + z 3 y2 . Воспользовавшись этими выражениями, получаем
x1 x 2 x 3 + y1 y 2 y 3 + z1 z 2 z 3 = x1 z1 + z3 - y 2 x 3 +

+ x3 + z3 - y 2 y2 x1 + z1 - y

d

id

d

2

i i+z b
1 2

x1 + x3 - y2 z 3 =
2

g

= x1 z1 x 3 + x1 z 3 x 3 - x1 y2 x 3 + x3 y2 x1 - x3 y 2 + x3 y2 z1 + + z 3 y 2 x1 - z 3 y 3 + z 3 y 2 z1 - y2 x1 + y2 -
2 2 3

y2 z1 + z1 x1 z 3 + z1 x3 z 3 - z1 y 2 z 3 = x1 x3 + z 3 - y2 z1 + + z1 + z 3 - y2 y2 x1 + x3 - y

d

+ x 3 x1 - y 2 + z1 z 3 = x1 y1 z1 + x 2 y2 z 2 + x 3 y 3 z 3 . 18.
5- a b > 0 5b > a 5b a + 1 =
2 2 2 2 2

d

id

d

i

2

i

i

+

= a + 2a = a+

1 4a

+
2

1 2

> a + 2a

2

1 4a

+

1 16 a
2

=

F GH

1 4a

I JK

5>

F GH

a b

+

1 4 ab

I JK

2



5-

a b

>

1 4 ab

.

19. Обезьянка Чита, начиная вытаскивать орехи первой, при правильной стратегии Чи-Чи получит меньшую добычу. ЧиЧи, например, может действовать так. Если Чита первым ходом вытаскивает 1 орех, Чи-Чи следом вытаскивает 12 орехов и в дальнейшем обеспечивает себе победу (большее количество орехов). Если Чита первым ходом вытаскивает 5 орехов, то Чи-Чи следующим ходом вытаскивает один орех. Поскольку после этого в куче останется 19 орехов, то Чита следующим ходом сможет вытащить только один орех, зато Чи-Чи следом 9. На данном этапе у Читы 6 орехов, у Чи-Чи 10, в куче осталось 9. Если далее Чита вытаскивает 3 ореха, то Чи-Чи тоже 3 ореха, если же Чита вытаскивает 1 орех, то Чи-Чи 4 ореха. В любом из этих двух случаев Чи-Чи обеспечивает себе победу. 20. Угол C1 A1 B1 дополняет углы C1 A1 B и B1 A1C до развернутого угла, поэтому он равен углу C1 AB1 , который вместе с углами AC1 B1 = B1 A1C и C1 B1 A = C1 A1 B состав-