Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/04/47.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:25:21 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:08 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: п п п п п п р п р п п п

НАМ

ПИШУТ

Q

l l q

q Q = q + Q

Рис. 7

Разобьем задачу на две части. Сначала рассмотрим заряд q1 на расстоянии l 1 от сферы с зарядом Q1 , а затем заряд q2 на расстоянии l 2 от сферы с зарядом Q2 , при этом Q1 + Q2 = Q (рис.7). Потенциал сферы в первом случае определяется формулой (7), а во втором случае формулой (6). А теперь наложим первую систему на вторую. Так как потенциалы всех точек сферы были постоянными в каждом из случаев, при наложении систем они тоже будут постоянными, а заряд сферы будет равен Q. Следовательно, полученное при наложении распределение зарядов по поверхности сферы и будет правильным (теорема единственности). Для потенциала сферы получим
R =

заряженных сфер в задаче, где требуется определить потенциал проводящей сферы. Поскольку вклад от точечного заряда в потенциал сферы зависит только от расстояния l между этим зарядом и центром сферы, потенциал сферы не изменится, если мы 'размажем' этот заряд по поверхности воображаемой сферы радиусом l. Сравните, например, формулу (5) с формулой (6), а формулу (4) с формулой (7). Задача 6. Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами R1 и R2 ( R1 < R2 ). Между сферами на расстоянии r от центра находится точечный заряд q. Какие заряды появятся на сферах, если их заземлить? Выразим потенциалы сфер и приравняем их к нулю. Потенциал внутренней сферы равен потенциалу центра, т.е.
R1 =

q

сфер к нулю, решим полученные уравнения и найдем искомые заряды:
R2 q1 = - q r R2 R1 -1 -1

,

q2 = - q

1- 1-

R1 r . R1 R2

?D

1 4
0

q1 R1

+

1 4
0

q r

+

1 4
0

q2 R2

,

>C

1

Q

4 0 R

+

1 4
0

q l

2

+

1 4
0

q1 R

.

2

Этот результат естественным образом обобщается на любое количество точечных зарядов. Интересно отметить, что отсюда следует своеобразная эквивалентность точечных зарядов и

где q1 и q2 заряды сфер (после заземления). Поле во внешнем пространстве совпадает с полем точечного заряда q1 + q + q2 , поэтому потенциал внешней сферы равен
R2 =

?D

Упражнения 1. Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами R1 и R2 ( R1 < R2 ). Внутренняя сфера заряжена зарядом q, внешняя сфера не заряжена. Каким станет потенциал внутренней сферы, если внешнюю сферу заземлить? Как изменится при этом энергия системы? 2. Имеются три концентрические проводящие сферы радиусами R1 , R и R2 ( R1 < R от ее центра помещают точечные заряды q1 и q2 . Какой заряд появится на сфере? 5. Имеются две концентрические проводящие сферы радиусами R и 3R. Между сферами на расстоянии 2R от их центра находится точечный заряд q. Какие заряды окажутся на сферах, если их соединить тонкой проволокой?

1 4
0

q1 + q + q2 R2

.

Теперь приравняем потенциалы обеих

НАМ ПИШУТ Еще два доказательства свойства правильного треугольника
В первом номере за 1999 год в статье 'Вписанные многоугольники' тремя способами доказано, что если на дуге АВ описанной окружности равностороннего треугольника АВС взята точка Х, то АХ + ВХ = СХ (см. рисунок). Между тем есть еще два замечательных доказательства. Во-первых, мы можем построить на отрезке ХВ вовне правильный треугольник XZB. При повороте вокруг точки В на 60њ точка С переходит в А, Х в Z, треугольник СХВ в треугольник AZB. Значит, CX = AZ. Поскольку сумма противопоC

лежат на одной прямой. Следовательно,

AX + BX = AX + XZ = AZ = CX.
Во-вторых, можно бесхитростно применить теорему косинусов: обозначив АВ = ВС = СА = l, АХ = а, ВХ = b, CX = c, находим из AXC и CXB :
A X Z B l = a + c - 2 ac cos 60њ , l = b + c - 2bc cos 60њ .
2 2 2 2 2 2

Вычитая почленно, получаем a b ас + bс = 0, откуда

2

2

>

a - b a + b - c = 0.

C>

C

ложных углов вписанного четырехугольника AXBC равна 180њ, имеем AXB = 120њ, так что точки А, Х, Z

Осталось разделить на a b. (Случай a = b легко разобрать отдельно.) М.Панк